すべての機能を見つける方法 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ そのような $\forall a,b\in\mathbb R$： $f(a)+f\big(a+f(b)\big)=b+f\big(f(a)+f^2(b)\big)$ [複製]
すべての機能を検索 $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ すべての人のために $ a , b \in \mathbb R$： $$ f ( a ) + f \big( a + f ( b ) \big) = b + f \big( f ( a ) + f ^ 2 ( b ) \big) \text . $$
ここでは、 $ n \in \mathbb N $、 $ f ^ n $ を示します $ n $-の-番目の反復 $ f $。
これまでの私の考え：
代用しました $ ( 0 , x ) $ その結果： $$ f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) = x + f \big( f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) \big) \text . \tag 1 \label 1 $$
それを言いましょう $ a , b \in \mathbb R $、 $ a \ne b $ そして $ f ( a ) = f ( b ) $。その後、LHSは値を変更しません$ a , b $しかし、RHSはそうします。それは矛盾であり、したがって$ f ( a ) = f ( b ) \implies a = b $。したがって、この関数は単射です。
代用すれば $ \big( x , f ( x ) \big) $ 次のように関数を交差させることができます。 $$ f \big( x + f ^ 2 ( x ) \big) = f \big( f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \big) \text ; $$ $$ \therefore \quad x + f ^ 2 ( x ) = f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \text . \tag 2 \label 2 $$
仮定すると $ f ( 0 ) = 0 $、 我々は持っています $ f ^ 2 ( x ) = x + f ^ 3 ( x ) $。
\ eqref {2}を使用すると、次のようになります。$ f ( x ) = 2 x $。ただし、これは関数方程式を満たさないため、次のように結論付けることができます。$ f ( 0 ) \ne 0 $。
私はまたあなたが代用すれば気づいた $ f ( x ) $ ために $ x $、あなたは得る $ f ( x ) + f ^ 3 ( x ) =f ^ 2 ( x ) + f ^ 4 ( x ) $ 表現する $ f ^ 3 ( x ) $ \ eqref {2}から、興味深い結果が得られます。 $ f ^ 4 ( x ) = x $ これは、関数が次のサイクルで反復することを意味します $ 4 $ （または $ 2 $ または $ 1 $）。
続行する方法や、次にどの置換を試すべきかわかりません。
回答
機能がないことを示すことができます $ f : \mathbb A \to \mathbb A $ 満足 $$ f ( x ) + f \big( x + f ( y ) \big) = y + f \Big( f ( x ) + f \big( f ( y ) \big) \Big) \tag 0 \label 0 $$ すべてのために $ x , y \in \mathbb A $、 どこ $ ( \mathbb A , + ) $いずれかであるアーベル群との中立要素は、 $ 0 $および逆関数 $ - $、あるように $ b \in \mathbb A $ と $ 5 b \ne 0 $。あなたが興味を持っているように$ \mathbb A = \mathbb R $グループ操作で $ + $ 実数の通常の加算と見なすと、これが当てはまります。これは、ゼロ以外の実数を次のように選択できるためです。 $ b $。
これを確認するには、 $ f ( x ) $ ために $ x $、そしてそれを見てください $$ f \big( f ( x ) \big) - y = f \Big( f \big( f ( x ) \big) + f \big( f ( y ) \big) \Big) - f \big( f ( x ) + f ( y ) \big) \\ = f \Big( f \big( f ( y ) \big) + f \big( f ( x ) \big) \Big) - f \big( f ( y ) + f ( x ) \big) = f \big( f ( y ) \big) - x \text , $$ これは特に示しています $$ f \big( f ( x ) \big) = f \big( f ( 0 ) \big) - x \text . \tag 1 \label{1a} $$ パッティング $ x = 0 $ \ eqref {0}に\ eqref {1a}を使用すると $$ f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y = y + f \Big( f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y \Big) \text , $$ これを許可することによって $ a = f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) $ と置換 $ - x + a $ ために $ y $ を示す $$ f ( x ) = 2 x - a \text . \tag 2 \label{2a} $$ \ eqref {1a}と\ eqref {2a}を使用すると、次のようになります。 $ 5 x = 0 $ すべてのために $ x \in \mathbb A $、特に $ x = b $、これは矛盾です。
すべての場合 $ b \in \mathbb A $であるため $ 5 $、いずれかを選択 $ a \in \mathbb A $ と取る $ f $ \ eqref {2a}の形式であるために、方程式\ eqref {0}はすべてに対して満たされます $ x , y \in \mathbb A $。これを確認するには、\ eqref {2a}を使用して\ eqref {0}を次のように書き換えます。$$ 2 x - a + 2 ( x + 2 y - a ) - a = y + 2 \big( 2 x - a + 2 ( 2 y - a ) - a \big) - a \text , $$ または同等に $$ 4 x + 4 y - 4 a = 4 x + 9 y - 9 a \text , $$ それは本当です $ 5 y = 0 $ そして $ 5 a = 0 $。\ eqref {2a}をもたらす導関数は、（要素の順序に関係なく）すべてのアーベル群に対して有効であったため、この場合のすべての解を特徴付けました。すべての要素の順序がであるアーベル群の例$ 5 $ある些細な基は、環状基 $ \mathbb Z _ 5 $そして、直接製品の$ \mathbb Z _ 5 $ それ自体で。