すべての文字を含む文字列の確率

Question

与えられた長さの文字列 $n$、 $26$ 英語のアルファベットの文字、それがすべてを含む確率はどれくらいですか $26$ 手紙の？

私はこの方向に考えていました（しかし答えに達することができませんでした）。

元の質問に文字列の長さが与えられたとすると、それがを含む確率はどれくらいですかA、そしてそれは1-（含まれない確率A）なので

しかし、私はこの考えを複数のキャラクターに拡張することはできません。誰かが私を助けることができますか？

Answer 1

文字が同じ確率で独立して選択されていると仮定すると、問題は次のようになります。 $n$ 中のボール $m=26$ ランダムに壷、すべての壷が空でない確率はどれくらいですか？

総数（文字列の数）は明らかに $m^n$。有利なイベントは数えるのが簡単ではありません。包除原理を使用する必要があります。結果は第2種のスターリング数で与えられ、ここで説明します。

したがって、最終結果は次のようになります。

$$ p = \frac{m! \, S_{n,m}}{m^n} $$