スカラーとベクトルの間の乗算を書く正しい方法は何ですか？
行列の乗算の規則では、左のオペランドの列数は右のオペランドの行数に等しいとされています。
$M*N$ Mが持っている場合 $n$ 列とNは $n$ 行。
この規則に従って、ベクトルとスカラーの間の乗算を記述する自然な方法は、ベクトルを左側に配置することです---スカラーを1行1列の行列として取ります。
しかし、私は、多くの場合、人々が上記の規則に従わないことを発見しました：例として固有分解を使用する：
固有分解のウィキ
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
左側にスカラーを配置する必要がある場合にガイドする経験則はありますか？
回答
スカラー倍算と行列乗算は、2つの別々の演算です。同じ単語「掛け算」が含まれていても、まったく異なります。
行列の乗算は可換ではありません。したがって、正しい行列を右側に配置する必要があります。これは規則ではありません。スカラーは可換であり、どちらの側にも配置できます。
書面による慣習自体はないと思います。人々は単に係数を他の用語の前に置くことに慣れていました。右側にスカラーを置くと、作業しているフィールドによっては、式を読んでいる人が止まって、「ああ、待って、非可換代数を使っているのか」と思うかもしれません。ちょっとの間。また、「これはスカラーなのか、それとも何かが足りないのか」と考える人もいるかもしれません。読者にとっては余分な脳のサイクルが必要になるかもしれないので、左側にスカラーを残しておきますが、反対側に置いても悲劇にはならないでしょう。
を使用してスカラー倍算を模倣することは可能ですが$1\times n$ または $n \times 1$行列-それは本質的にはそうではありません。繰り返しますが、これらは異なる操作であり、そのうちの1つだけが可換です。
これは表記上の慣習の問題です。通常、ベクトル空間の公理は、次の形式でスカラー倍算を記述することによって定式化されます。$$\lambda \cdot v$$ どこ $v \in V$ そして $\lambda$ 地上フィールドに属します $K$。その理由は、私たちは通常、製品でそれを理解しているからです$\mu \cdot \lambda$ の要素の $K$我々は最初の要因を$\mu$そして第二の要因$\lambda$。（乗算が可換である）フィールドでは、因子の順序は無関係のようです（なぜなら$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$）、しかしリングで $R$（その乗算は一般に非可換です）順序は不可欠です。これは、例えばのリングに適用されます$n\times n$-体上の多元環。ベクトル空間の公理の1つは$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ これは、右からスカラー倍算を介して記述された同じ式よりもニーモニックに簡単です。 $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ さて、フィールドの場合、これは同じことを言っているのであまり違いはありません $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ただし、ベクトル空間の概念は、環上の加群の概念に一般化できることに注意してください。$R$そしてここで順序が違いを生みます。実際、左と右を区別します$R$-モジュール。左用$R$-muodulesは通常、スカラー多重化を次のように記述します。 $\lambda \cdot v$、右のために $R$-モジュールとして $v \cdot \lambda$。こちらをご覧ください。
さて、あなたの質問の核心に行きましょう。行列積$A \bullet B$ 通常、 $m\times n$ マトリックス $A$ と $n\times p$ マトリックス $B$、つまり、の列数が $A$ の行数に等しい $B$。あなたが言うように、スカラー$\lambda$ と見なすことができます $1 \times 1$ マトリックス $(\lambda)$。したがって、次の2つの式が定義されます。$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ に $(1)$ $A$で、行ベクトルと呼ばれます$(2)$列ベクトル。
したがって、それはあなたの好きな表記法に依存します：あなたがの要素を考慮するならば $K^n$ 行ベクトルとして、使用する必要があります $(1)$、それらを列ベクトルと見なす場合は、次のように記述する必要があります。 $(2)$。
とにかく、これはあなたがのスカラー積を理解することをどうしても主張する場合にのみ関係があります$\lambda$ そして $A$行列積として。通常のために$A = (a_{ij})$ 1つは単に定義します $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ そうすることは、あなたがの要素を考慮するかどうかは重要ではありません $K^n$ 行ベクトルまたは列ベクトルとして。