スペクトル分解とテイラー展開

Nov 30 2020

この質問とそれが受け取ったコメントと回答は、私がこの質問をするように促しましたが、これは数学フォーラムに属すると考える人がいることは知っています。しかし、このトピックは純粋数学者よりも数理物理学者に関連していると思います。

動機：この質問への答えの1つは、$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 適切な機能であり、 $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$が適切な演算子である場合、\ begin {equation} f（A）：= \ int _ {\ mathbb C} f \、\ mathrm {d} P_A \ end {equation}を定義できます。$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$対策です。ただし、指数または対数の場合など、収束級数の観点から定義を理解する方がはるかに簡単です。（統計物理学では、$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ エントロピーは $\rho$は密度演算子です。）それが私が知りたい理由です：

書くことも可能ですか $f(A)$ 収束級数の観点から $f$ある時点でテイラー展開がありますか？

答えが「はい」の場合、積分と級数がどのように同等であるかを確認する比較的簡単な方法があるかどうかも疑問に思います。（私が知る限り、積分-でも$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ -いくつかのシリーズの限界として表現できるので、おそらくそれは良い出発点になるでしょう）。

例：式 \ begin {equation} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n！} A ^ n \ end {equation} はいつでも意味があります$A$ は完全なノルム空間の要素であり、に収束します。 $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ いつ $A$適切な演算子（ソース）です。

\ begin {equation} \ left（\ sum_ {k = 1} ^ N（-1）^ {k + 1} \ frac {（A- \ text {id}）^ k} {k}であることも知られています\ right）_ {N \ in \ mathbb N} \ end {equation}はに収束します$\text{ln}(A)$特定の状況下では（こことここを参照）、一般的なルールがあるかどうか疑問に思いました。つまり、 \ begin {equation} f（x）= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n（xb）^ nの場合、\ end {equation} は次の近傍にあります。$b$、 \ begin {equation} f（A）= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n（Ab \ cdot \ text {id}）^ nですか？\ end {equation}

回答

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

オペレーターの場合 $A$ 属する $B(H)$ （ヒルベルト空間で定義されたあらゆる場所の有界作用素の空間 $H$）そして正常です： $$A^*A=AA^*$$ それからそれはスペクトル分解を認めます $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ そして、明白な表記で、 $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$。

この場合（そして一般的な場合も $A$ 制限がない（密に定義されている、閉じている、通常））、 $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ ボレル可測関数ごとに $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$。この場合、答えは比較的簡単です。

命題。

しましょう $A \in B(H)$ 正常であり、考慮します $f: \Omega \to \mathbb{C}$ 開集合の分析関数 $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$。

場合 $z_0 \in \Omega$ とのテイラー展開 $f$ 周り $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ 収束半径があります $R+\epsilon$ いくつかのための $\epsilon>0$、そして最後に $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ その後 $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ ここで、右側の収束はのノルムにあります $B(H)$。

証明。私たちは不平等から始めます $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ これは次の場合に有効です $g$ボレル測定可能で有界です。この不等式は、$A$ 制限はありません。

私たちが持っているその不平等を利用する $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ ために $N\to +\infty$テイラー展開の収束は、収束ディスク内のすべてのコンパクトで均一であるためです。そのことに注意してください$\sigma(A)$ 確かに含まれているコンパクトです $C_{R+\epsilon}(z_0)$。

の定義を使用する $g(A)$、したがって、 $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ の規範に関して $B(H)$。言い換えれば、$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ そのトポロジーで。それが論文です。QED

同様に証明することができ、の場合を含む他の結果があります $A$無制限（密に定義され、閉じられ、通常）。場合 $\psi$ の射影空間に属する $\int_{E} 1 dP(z)$、どこ $E \subset C_{R}(z_0)$ 有界ボレル集合です（ $\psi$ の分析ベクトルです $A$）、次に $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ ここで、収束はヒルベルト空間ノルムにあります。