数列の極限を評価する

Question

させて$X_1, X_2, \ldots$分布が集中しているiid確率変数のシーケンスである$[1,\infty)$そして有限の二次モーメント。私たちは$a=E\ln X_1$、$\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$。

数列の極限を評価する方法$$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$どうやって始めたらいいのかわからない。中心極限定理と関連付けることができると思いますが、よくわかりません。

Answer 1

対数を取り、$Y_{i} = \ln(X_{i})$：

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

最初の項は、分布が次のように収束します。$N(0, \sigma^{2})$中心極限定理により、第2項は確率で収束します。$-2a$したがって、大数の法則によって$A_n$分布に収束します$N(-2a, \sigma^{2})$。

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

どこ$\Phi$標準正規cdfです。