SVD：右特異行列が転置として記述される理由
SVDは常に次のように記述されます。
A =UΣV_Transpose
問題は、なぜ正しい特異行列がV_Transposeとして記述されているのかということです。
つまり、W = V_Transpose
次に、SVDをA =UΣWと記述します。
SVD画像クレジット： https://youtu.be/P5mlg91as1c
ありがとうございました
回答
$V^T$ のエルミート転置（複素共役転置）です $V$。
$V$ それ自体が右特異ベクトルを保持します $A$ これはの（正規直交）固有ベクトルです $A^TA$; その程度まで：$A^TA = VS^2V^T$。私たちが書いた場合$W = V^T$、その後 $W$ の固有ベクトルを表さなくなります $A^TA$。さらに、SVDを次のように定義します。$A = USV^T$ 直接使用することができます $U$ そして $V$ の意味でマトリックスを対角化する $Av_i = s_iu_i$、 にとって $i\leq r$ どこ $r$ のランクです $A$ （すなわち $AV = US$）。最後に使用する$USV^T$ また、対称行列の場合の計算が簡略化されます $A$ その場合 $U$ そして $V$ 一致し（符号まで）、特異分解を固有分解に直接リンクすることができます $A = Q \Lambda Q^T$。明確にするために：「はい、使用しています$V^T$ の代わりに $W = V^T$ちょっとした慣習です」が、役に立つものです。
線形代数の理由で転置として書かれています。
些細なランク1のケースを考えてみましょう $A = uv^T$、 どこ $u$ そして $v$たとえば、単位ベクトルです。この式は、線形変換として、$A$ ベクトルを取る $v$ に $u$、およびの直交補空間 $v$ゼロに。転置が自然にどのように表示されるかを確認できます。
これは、ことを示していますSVDによって一般化された任意の線形変換は、ランク1のマップの和であり、そして、より多くの何、あなたが直交するように加数を手配することができます。具体的には、分解$$ A = U\Sigma V^T = \sum_{i = 1}^k \sigma_i u_i v_i^T $$ 線形変換の場合 $A$ オン $\mathbb{R}^n$ いくつかのための $n$ （より一般的には、分離可能なヒルベルト空間上のコンパクト演算子）、正規直交集合を見つけることができます $\{v_i\}$ そして $\{u_i\}$ そのような
$\{v_i\}$ スパン $\ker(A)^{\perp}$。
$A$ かかります $v_i$ に $\sigma_i u_i$、それぞれについて $i$。
この特殊なケースは、正の半確定行列のスペクトル分解です。 $A$、 どこ $U = V$ そしてその $u_i$はの固有ベクトルです $A$---被加数 $u_i u_i^T$ランク1の直交射影です。エルミートの場合$A$、 $U$ に「ほぼ等しい」 $V$---対応する固有値が負の場合、 $u_i = -v_i$ そのため $\sigma_i \geq 0$。
私の答えは他の人よりもはるかに面倒です...
たとえば、W = V_Transpose
次に、SVDをA =UΣWと記述します。
それであなたは読者にもう一つの変数を暗記するように頼んでいます（$W$）ただし、次のような単純な式の場合 $V^T$ IMO、それだけの価値はありません。