互いに素 $0$

Question

この質問はより一般的ですが、私はそれを動機付けるために定理を使用するつもりです。

有理数が存在することを証明したいとします $r$ そのような $r^3 + r + 1 = 0$。最初のステップは、そのようなものがあると仮定することです$r$、 そう $r = \frac{p}{q}$ どこ $p,q \in \mathbb{Z}$、 $q \neq 0$ どこ $p,q$ 互いに素です。

これが私の質問です。これなら$r$ だった $0$ （そうではなく、除外することはできますが、完全に厳密にするために実際に除外する必要があるかどうかに興味があります）、 $r = \frac{0}{q}$。だが$0 \cdot 0 = 0$ そして $0 \cdot q = 0$、だから両方 $p$ そして $q$ の公約数がある $0$。

だが $\gcd(p,q) = 1$、それでも、 $1 > 0$、そしてそれは問題ではないようです $q$ 負です。

これに基づいて、私の結論は、それは実際には問題ではないということです $p = 0$そして私はこれを考慮する必要はありません。そうですか？私が書いた場合「仮定$p$ そして $q$ 共通の要因はありません」と、確かに共通の要因があるため、すでに少しあいまいです。 $1$、しかし、より正式な「互いに素な」仮定は問題ないようです。

Answer 1

「$p,q$ 互いに素です」と「$\frac pq$ 「最低期間」にある」とは、あなたの考え方を変えるでしょうか？

場合 $q > 1$ その後 $\frac 0q = \frac 01$ そう $\frac 0q$ 最低条件ではありません。

の表記を使用する場合 $\gcd$ 議論は同じですが、「互いに素」です。

なので $0\cdot q = 0$ 私たちは $q$ の約数です $0$ など $\gcd(0, q) = q$ で、もし $q > 1$ その後 $\gcd(0,q) = q$ したがって

場合 $q>1$ その後 $0$ そして $q$ 互いに素ではありません。

だが $\gcd(0,1) = 1$ そう

$0$ そして $1$ 互いに素です。

そして、私たちはただ続けることができます。

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しかし、あなたの分析では、あなたは混乱し、畳み込みをしました。

あなたは言う：

ただし、0⋅0= 0および0⋅q= 0であるため、pとqの両方の共通因子は0です。

完全ではありません。我々は持っています$0\cdot q =0$。あなたは持っていません$0\cdot something = q$。そう$0$の要因ではありません$q$。そう$0$それ自体を除いて何の要因でもありません。

あなたが持っていること、そして言うべきだったことは$0\cdot q = 0$ そして $1\cdot q = q$ そういうことです $q$ （ではなく $0$）それはの公約数です $0$ そして $q$。

実際、すべてのものが要因です$0$ そう $\gcd(0,anything) = |anything|$。（覚えておいてください$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ どちらかが両方を分割するので $a$ そして $b$ それも分割します $-a$ そして $-b$。）

そして $0$ そして $q$ 互いに素な手段です $\gcd(0, q) = 1$。だが$\gcd(0, q) = |q|$ 持っている $0$ そして $q$ 互いに素でなければならない $q = \pm 1$。

...。

ああ、Prasun Biswasが私を訂正したので、私たちが定義するとき、私は指摘する必要があります $\gcd(a,b)$そして「最大公約数」、ほとんどのテキストは必ずしも大きさが「最大」を意味するのではなく、分割可能性が「最大」を意味します。定義する$a\preceq b$ それを意味する $a$ 分水界 $b$これは半順序です（合計ではなく、2つの要素が比較されません）。この順序を使用すると、「最大」公約数は、他のすべての公約数が分割される公約数です。

ほとんどの場合、定義は次のように同じです。 $a,b$ どちらもポジティブ $a\preceq b \implies a \le b$。で、もし$a,b$ は正の整数で、大きさが最大公約数であり、分割可能性が最大公約数は同じです。

しかし、この場合、すべてが分かれるので $0$、私たちは常に持っています $q\preceq 0$ そして $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ そして $0$すべての整数よりも分割可能性が大きいです。だからすべてが$q$ の公約数です $0$ そして $0$、 $\gcd(0,0) = 0$。