多項式の根を見つける $X^2 - X + 19$ に $\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Aug 18 2020

ために $p = 61$

私はのルーツを与えられました $X^2 + 3$$\mathbb Z/p \mathbb Z$$\pm 27 + p\mathbb Z$

それから私はのルーツを見つけなければなりません $X^2 - X + 19$$\mathbb Z/p\mathbb Z$、以前の情報を使用せずに見つけました。

しかし、私は与えられた情報を使用してのルーツを見つけることになっています $X^2 - X + 19$$\mathbb Z/p\mathbb Z$、それに、私は前進する方法の手がかりがありません。

回答

1 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 11:49

正方形を完成させます。

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$

ここから持っていってもらえますか?