単拡大の中間フィールド $\mathbb{C}(x)$

Question

しましょう $\mathbb{C}(x)$ 上の有理関数の分野である $\mathbb{C}$。もちろん$\mathbb{C}(x)$ の体拡大です $\mathbb{C}$。私の質問は今です：間に中間フィールドはありますか$\mathbb{C}$ そして $\mathbb{C}(x)$？もしそうなら、私たちは彼らの次元について何を言うことができますか？それは常に無限ですか？

Answer 1

コメントの要約（再会の結果を除いて、別々に投稿する必要があります！）以下 $K$ 厳密に中間の任意の中間フィールドを表します。 $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$。

1. なぜなら $\Bbb{C}$代数的閉体であり、代数的閉体はありません。したがって、有限の拡張はありません。したがって、$[K:\Bbb{C}]=\infty$。
2. 一方、 $u=f(x)/g(x)$ の任意の要素です $K\setminus\Bbb{C}$、 $f,g\in\Bbb{C}[x]$、その後 $x$ は多項式のゼロです $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ したがって、 $x$ 代数的です $K$。したがって、$[K(x):K]<\infty$。だが、$K(x)=\Bbb{C}(x)$、それで私たちはそれを結論付けることができます $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$。簡単にわかるので、これ以上何も言えません$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ すべての正の整数に対して $n$、したがって、拡張度は任意に高くすることができます。
3. リューローの定理により、すべての中間分野$K$ 実際にはの単純な超越拡張です $\Bbb{C}$。言い換えると、$K$ です $\Bbb{C}$-同型 $\Bbb{C}(x)$。