テータ関数に関するガウスの研究で使用された特定の一般定理の解釈。
私は、ガウスがテータ関数に関する事後の論文（この論文はガウスのヴェルケの第3巻の470-481ページにあります）で述べた一般的な命題の意味を理解しようとしています。彼が見つけたシータ関数間の膨大な量の関係の組織化の原則。
ガウスの表記法と定義
で示す $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ 次の機能：
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
これらの関数には、特別な場合として通常の意味でのJacobiシータ関数が含まれます。もし$y$ は絶対値が $1$、および $z$ 次のような実数として定義されます $y = e^{2iz}$、次に：
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
アイデンティティから続く $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$。特に、次のようなものがあります。
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$、だから人は理解することができます $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ Jacobiシータ関数の一般化として $\vartheta(z,x)$ 純粋に本物から $z$ 複合体に $z$ （zのゼロ以外の虚数部）、したがって $|y| \ne 1$。
備考：私はヤコビの出版物にあまり精通していないので、ヤコビのシータ関数の元の定義には、次の場合も含まれている可能性があります。$z$ 複雑なので、ガウスの関数 $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ 単にヤコビの異なる表記法のシータ関数に他なりません。
ガウスの定理
1827年8月6日、ガウスは次の「一般定理」を述べました。
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
そして、そこから多くの関係を導き出します。
この質問のより包括的な背景については、HSMスタックエクスチェンジの投稿への回答をご覧ください。 https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem。
したがって、ガウスが述べた一般定理の解釈方法を知りたい。
回答
ガウスのテータ関数の定義は、次のように書くことができます。
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
次に、2つのシータ関数の積について考えます。
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
これは二重和として書き直すことができます
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
新しい変数を使用してこれを書き直します
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
取得するため
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
二重和 $\,S\,$2つのケースに分かれます。1つは$\,S_0\,$ どこ $\,n,m\,$ と同じパリティを持っている $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ もう1つは $\,S_1\,$ どこ $\,n,m\,$ と異なるパリティを持っている $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ 合計を積として書き直します
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
そして
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
最終結果は
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
これはガウスの元の証明と似ていると思いますが、それを知る方法はありません。このアプローチは非常に古いものでなければなりません。
変数を使いましょう $q, z$ と $q=x, y=e^{2iz}$ そのため $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ これで、ガウスの一般定理を次のように書き写すことができます。 $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ （と $t=e^{2iw}$）Jacobiシータ関数間のアイデンティティとして。
これは、シータ関数間の最も基本的なアイデンティティの1つであり、これを使用して、シータ関数間のほとんどすべての代数的関係を導出できます。このガウスの一般定理から導き出されたいくつかのアイデンティティについては、arXivでこの論文をご覧ください。
同じことの証明は、左側と右側の比率を考慮し、それが極のない二重周期関数であることを示すことによって与えることができます。したがって、は定数です。定数が次のようになっていることを示すには、ある程度の努力が必要です。$1$ しかし、これらの関数に対応する級数の代数操作で示すことができます。 $z=0,w=0$。
現時点では私は上記のアイデンティティの直接代数的証明を持っていないとヤコビ確認する必要がありますFundamenta新星をヤコビは、そのような証拠を提供するかどうかを確認します。また、質問で述べたように、JacobiTheta関数はすべての複素数に対して定義されています$z, q$ と $|q|<1$。