定義できますか $z^{\frac{1}{2}}$ 上の正則関数として $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$？

Question

検討する $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

たとえば、 $z^{\frac{1}{2}}$ 近くの正則関数として定義できます $z=\frac{1}{2}$、の非常に小さな近隣を選択することによって $z=\frac{1}{2}$、および適切な定義 $arg(z)$ そこで連続させるために。

私の質問：できます $z^{\frac{1}{2}}$ 上の正則関数と見なされます $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$？ここに$D$ の単位円板は $\mathbb{C}$。

正則関数私はそのマップを意味します$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ 上のコーシー・リーマン方程式を満たします $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$。

以下に答えるように、私の質問に対する答えは否定的であることがわかります。次の追加の関連質問を検討したいと思います。

追加の質問：同様の質問ですが、今回はドメインを検討します$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$、非常に小さい場合 $\epsilon$。

Answer 1

いいえ、これは不可能です。この関数は、パンクした近傍に制限されます。$0$、 $0$ 可除特異点 $z^{\frac{1}{2}}$。しかしその後$0$ 導関数の可除特異点にもなります $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$、で可除特異点を持つことはできません $0$ パンクした近所に囲まれていないからです。