定量化可能なロジック。との差 $\forall y, \forall z(F(y,z) \implies Q(y)) $ そして $\forall y, \exists z (F(y,z)\implies Q(y))$。
私は「それを証明する方法」を読んでいて、次の質問に苦労しています。
「論理形式を分析します。寮の誰かがはしかを持っている場合、寮に友人がいるすべての人を隔離する必要があります」。
私は次のことを思いついた:
$\exists x(D(x) \land M(x))\implies \forall y ,\forall z ((F(y,z) \land D(z)) \implies Q(y))$
どこ $D(x) = $ xは寮にいます、 $M(x)=$ xにははしかがあり、 $F(y,z)=$ yはzの友達です。 $Q(x)=$ xは隔離する必要があります。
私はオンラインで答えを調べました、そして私の答えは正しいです。 $\forall z$ それは $\exists z$。私はこれを解決できないようです。確かに、人々yとzのすべての組み合わせについて、彼らが友人である場合(つまり、$F(y,z)$)その後、私のステートメント/ソリューションは正しいです。
なぜ私たちが使うのか誰かが私に説明できますか $\exists z$ の代わりに $\forall z$ この場合?
回答
かっこの違いを見落としていたと思います。
あなたの答えは
$$\forall y \forall z ((F(y,z) \land D(z)) \implies Q(y)),$$
本の中の答えは
$$\forall y (\exists z (F(y,z) \land D(z)) \implies Q(y)).$$
これらの文は両方とも同等であるため、両方とも正しいです。「友達がいる」というフレーズは、含意の先行詞内の存在記号のように聞こえるので、2番目の文の方が好きです。しかし、最初のものも正しいです。
一方、文
$$\forall y \exists z ((F(y,z) \land D(z)) \implies Q(y))$$
完全に異なります。この文はすべての人のためにそれを言います$y$、別の人がいます($z$) WHO
- の友達ではありません $y$、または
- 寮に住んでいない、または
- 隔離する必要があります。
回答キーに実際にここに3番目の文がある場合、それはおそらく印刷エラーです。
ちなみに、最初の2つの文が同等であることを示す方法は次のとおりです。文から始めます
$$\forall y \forall z ((F(y,z) \land D(z)) \implies Q(y)).$$
まず、含意を論理和として書き直します。
$$\forall y \forall z (\neg (F(y,z) \land D(z)) \lor Q(y)).$$
全称記号からの選言因子:
$$\forall y (\forall z \ \neg (F(y,z) \land D(z)) \lor Q(y)).$$
数量詞に関するド・モルガンの法則:
$$\forall y (\neg \exists z (F(y,z) \land D(z)) \lor Q(y)).$$
最後に、論理和を含意として書き直します。
$$\forall y (\exists z (F(y,z) \land D(z)) \implies Q(y)).$$