統合の方向を変える

Question

積分の方向を変える必要があります：

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

私が知っていることから、私は最初に形を見つける必要があります：

$0.5y^2 = x$ そして $\sqrt{3-y^2} =x$

形状Iは放物線です： $y^2 = 2x$
シェイプIIは円です $x^2 + y^2 = 3$ （半径 $\sqrt{3}$）

つまり、基本的に放物線から円に水平方向の矢印を描きます。 $0 \leq y \leq 1$。

この写真に非常によく似たもの：

垂直線を引く必要があるので、次のようになりますが、次の3つの領域があります。

1. 放物線（赤）に当たった場所
2. 私たちが線を打った場所 $y=1$ （緑）
3. 円を打ったところ（青）

そして、私の最終的な答えは次のとおりです。

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

私は今のところ正しいですか？そうでない場合、どうすれば修正できますか？どうしたらいいのかわからないので行き詰まりました…よろしくお願いします！ありがとう！

Answer 1

あなたがしたことは正しいです。これで完了です。

あなたの仕事のチェック、 $y=1$ 交差する $0.5y^2=x$ で $x=0.5$。（これはオレンジ色の領域に対応します。$0.5y^2=x$ と同等です $y=\sqrt{2x}$ いつ $y>0$。

また、 $y=1$ 交差する $\sqrt{3-y^2}=x$ で $x=\sqrt2$。 $\sqrt{3-y^2}=x$ と同等です $y=\sqrt{3-x^2}$ いつ $y>0$。

下限は常に $y=0$。

コンパクトに表現することもできます

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

さらなる評価は、の詳細に依存します $f$。積分の順序の変更を実行する可能性のある動機の1つは、$f$ 特定の順序で統合する方が簡単です。

備考：コミュニティによっては、次のように書く人もいます

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$