特別な対称群に関連する群の分解体に関する参照要求
次数の対称群を示します $n!$ 沿って $S_n$。しましょう$H:=S_p$ 奇数の素数の場合 $p$。
すべての有限体 $k$ の分解体です $kH$、 特に $k:=\mathbb{F}_p$。
質問：
です $k:=\mathbb{F}_p$ また、のための分解体 $kG$ どこ
a） $G:=H\times H$ ？
b） $G:=H \wr C_2$ ？
これらの（同様の）質問を扱っている文献に登場する参考文献に興味があります。
よろしくお願いします。
編集： $k$ の分解体です $S_n$ の場合 $k$-代数 $kS_n$ 分割 $k$、つまり、すべての単純な場合 $kS_n$-モジュール $M$、終わりがあります$_{kSn}(M)\cong k$。（対称群の分解体を参照）
備考：見たhttps://ncatlab.org/nlab/show/direct+product+group 備考2.2のため、私の質問は任意のグループに対して肯定的な答えを持っていない可能性がありますが、それでもこれらの特別な場合にステートメントが当てはまるかどうかに興味がありました。
回答
あなたが分解体であると呼ぶこの条件は、実際には既約のすべてが $\overline{\mathbb{F}}_p$ 表現は上で定義されます $\mathbb{F}_p$。対称群の場合、これは標準的な事実であり、Jamesの本に記載されています。
の既約表現以来 $S_n$ すべて定義されています $\mathbb{F}_p$、テンソル積もそうです $V \otimes W$ の既約表現です $S_n \times S_n$。
輪積の場合 $S_n \wr C_2$ 特徴的な既約表現 $p \ne 2$ 基本的に標数ゼロと同じ方法で構築されます：それぞれの既約 $S_k$ 表現 $D_\lambda$ 既約表現に2つの方法で拡張できます $D_\lambda^0$ そして $D_\lambda^1$ の $S_k \wr C_2$ それぞれを宣言することによって $C_2$些細なことか、記号によって行動します。の一般的な既約表現$S_n \wr C_2$ の形式です $Ind_{S_k \wr C_2 \times S_{n-k} \wr C_2} (D_\lambda^0 \otimes D_\mu^1)$。明らかにこれらは上で定義されています$\mathbb{F}_p$ 以来 $D_\lambda$です。
これは正確な答えではありませんが、役に立ちます。の第2章をご覧ください
自由に利用できるJSミルンによるフィールドとガロア理論
そして、KEITHCONRADの簡単なレビューと講義。のようなフィールドの分割に関する本がいくつかあります
ロットマン、ジョセフ、ガロア理論、Universitext。ニューヨーク州ニューヨーク：スプリンガー。xiv、157ページ。（1998）。ZBL0924.12001。
または
リドル、ルドルフ; Niederreiter、Harald、有限フィールドとその応用の紹介、ケンブリッジ：大学 押す、。xi、416ページ。（1994）。ZBL0820.11072。
またはの第9章
ローマン、スティーブン、フィールド理論、数学の大学院テキスト158。ニューヨーク、ニューヨーク：スプリンガー（ISBN 0-387-27677-7 / hbk）。xii、332ページ。（2006）。ZBL1172.12001。