トリチェリの点のテンソル計算の証拠？
テンソル計算に関するこのビデオ講義では、2：36頃、彼は長さの方向に外側に向かって増加する幾何学的な「長さ関数」の勾配を取ります。しかし、勾配がどの方向にあるべきかわかりませんか？異なるポイントは異なる勾配を持っていますか？そして、3つのポイントから関数を定義するための技術は正確には何ですか？
私は彼が何をしたかを次のように座標を使って説明しようと構築することを考えました：
3つのポイントを取る $ A_1,A_2,A_3$
さて、これらの3つの固定点から、三角形の点を取ります $ (x,y)$
しましょう $d(A_i(x,y))$ 頂点Aからの点の距離である私たちの目標は、以下を最小化することです。
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
おそらく、両側の勾配を取り、左をゼロに設定すると、次のようになります。
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
または、
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
そして、の3つの単位ベクトルが $ d(A_i (x,y))$ゼロに行くことは私たちのトリチェリ点ですが、頂点からの距離に基づいて彼が関数をどのように定義するかはよくわかりません。これの技術は正確には何ですか？
さらに、私はオンラインで同様の証拠を見つけることができません、これは十分に文書化された証拠ではありませんか？
編集：もう少し考えて、より複雑な形状の「トリセリ点」を見つけるために同様の方法を使用できますか？同じ原則で簡単に実行できるはずです。
たとえば、五角形の「トリセリ点」を見つけることは、以下に示すように、それらの合計がゼロになるように5つの単位ベクトルを配置する方法を見つけるという問題になります。さらに言えば、一般的に、ゼロに追加されるような配置をどのように見つけるでしょうか？
回答
多くの質問があります。リストを作ってみましょう。
- 「異なるポイントには異なる勾配がありますか？」
はい、彼らはやる。関数の勾配はベクトル場です。つまり、ベクトルはポイントごとに変化します。
- 「でも、勾配がどうあるべきかわからないの？」
「彼が頂点からの距離に基づいて関数をどのように定義するのかよくわかりません。これの技術は正確には何ですか？」
幾何学的には、グラデーションの2つのプロパティがあります。
a）勾配は関数の最も速い増加の方向を指します。
関数「Oまでの距離」の場合、あるPで最も速く増加する方向（パート1の回答によると、これはPが変化すると変化します）は、光線OPに沿って「Oから」移動する方向です。繰り返しますが、この方向はPを変化させるにつれて変化します。
b）勾配のサイズは、勾配の方向のステップごとの関数の変化です（非常に小さいステップの制限内）。
「Oからの距離」の場合、これは、サイズのステップを踏むときに「Oからの距離」がどの程度変化するかを計算する必要があるということです。 $\Delta$光線OPに沿って。答えは$\Delta$。ステップサイズによる関数の増加の比率は1です。したがって、勾配ベクトルの長さは1です（任意のPに対して）。
または、次のように書くこともできます $f(P)=|OP|$勾配を取ります。Oが（固定）座標を持つ点であると仮定しましょう$(x_0, y_0)$ そして $P$ 可変座標を持っています $(x, y)$。
の勾配を計算するには $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ 二乗距離は距離よりも優れた関数であるという事実を使用します（ $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$、したがって二次多項式）。したがって、連鎖律を使用します。$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; そして$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$。一緒にこれは与える$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$、別名、上記の幾何学的推論から得られたのと同じように、光線OPに沿って指し示す単位ベクトル。
- 「より複雑な形状の「トリチェリ点」を見つけるために同様の方法を使用できますか？」
さて、「トリチェリ点」が点から頂点までの単位ベクトルの合計がゼロになる部分は、実際には同じであり、同じ理由です。問題は、3つのベクトルの場合、これが当てはまる唯一の方法は、すべてのベクトルのペア間に角度120があることです。したがって、トリチェリ点はこの「120度」のプロパティを持っている必要があります。ベクトルの数が多い場合、合計がゼロになる単位ベクトルの構成は無限にあります。したがって、「ベクトルの合計がゼロになる」という条件は、はるかに制限が少なくなります。これらのベクトルがPからポリゴンの頂点を指すという条件と、自明ではない方法で組み合わせる必要があります。これをどのように行うかはすぐにはわかりません。
- 「たとえば、五角形の「トリチェリ点」を見つけることは、以下に示すように、合計がゼロになるように5つの単位ベクトルを配置する方法を見つけるという問題になります。さらに言えば、一般的に、次のような配置を見つけるにはどうすればよいでしょうか。ゼロにする？」
正確に。5つのベクトルの場合、このような配置を簡単に作成できます。2つの単位ベクトルを合計すると、0から2までの任意のサイズの任意の方向のベクトルを取得できます。$\vec{v}$ サイズ1と0から2の間のサイズの他の2つの単位ベクトルのいくつかのペアを合計することによってこれらの2つの「反対側」を作成し、最後に等しい最後の単位ベクトルを追加します。 $\vec{v}$。5つのベクトルの全体の合計は、三角形を構成する3つのベクトルの合計になります。$\vec{0}$。
ここで、このタイプのランダム構成の場合、点Pから5つの頂点へのベクトルがこの構成を作成するような点Pは見つかりません。したがって、この種の方法を使用して五角形の「トリチェリ点」を見つける方法は明確ではありません。