トロイダルヒーガード分解
閉じた方向の還元不可能な3次元多様体のヒーガード分解があるとします。 $M$、ヒーガード図で定義 $(\Sigma_{g},\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{g}\},\{\beta_{1},\dots,\beta_{g}\})$。次の場合の取り付け曲線の明らかな十分条件または必要条件はありますか$M$ トロイダル（またはアトロイダル）ですか？
どんな種類のリードも役に立ちます。
回答
ヘンペルの「曲線複合体から見た3次元多様体」では、主要な定理の1つがトロイダルであるために必要な基準です。特に、彼は、3次元多様体がトロイダルである場合、そのヒーガード分解のすべてが、$\Sigma$、 持ってる $d(\Sigma) \leq 2$、 どこ $d$ヘンペル距離です。したがって、高距離ヒーガード分解について同じ論文で構築した後、使用できるアトロイダル多様体の大規模なコレクションが得られます。
反対方向に進むと、ヒーガード分解によって与えられた3次元多様体でトーラスを取得する方法があります（これらのトーラスが必須であるかどうかを確認することは私にはあまり明確ではありません）。仮定$c_1$ そして $c_2$ 上の曲線です $\Sigma$ あなたによって決定されたハンドルボディの環をバインドしました $\alpha$ カーブ、およびあなたによって決定されたハンドルボディの環 $\beta$曲線。これらの環を接着すると、3次元多様体にトーラスが生じ、ヒーガード表面と交差します。$c_1$ そして $c_2$。
実際には、そのようなものを構築する方法 $c_i$ で始めることです $c_1$ そしてそれをあなたの上に「スライド」させます $\alpha$このスライドが目的の環を一掃するようにカーブします。この構造をコレクションに一般化することもできます$c_1 ... c_n$ どこ $c_1$ そして $c_2$ の環をバインドしました $\alpha $ ハンドルボディ、 $c_2$ そして $c_3$ の環をバインドしました $\beta$ ハンドルボディなど
アビゲイル・トンプソンによる「互いに素な曲線の性質と属2多様体」という論文を見つけました。彼女は、ヒーガードが3次元多様体に分裂した場合にそれを証明します。 $M$ 互いに素な曲線プロパティがない場合 $M$ アトロイダルです。
しましょう $M_{1}\cup_{\Sigma}M_{2}$ ヒーガード分解する $M$。次に、本質的な単純な閉じた曲線が存在する場合、ヒーガード分解は互いに素な曲線特性を持ちます$c, a$ そして $b$ オン $\Sigma$ どこ $c$ から素です $a$ そして $b$ オン $\Sigma$、および $a$ でディスクをバインドします $M_{1}$、および $b$ でディスクをバインドします $M_{2}$。