凸関数の限界
次の演習を確認する必要があります。
しましょう $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 凸関数。
証明してください $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ そして $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ 存在する
両方の制限が有限である場合、 $f$ は一定です。
私の試み：
i）私はそれを知っています $f$ 凸である場合 $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$
任意を修正すれば $N>0$、それから私はそれを持っています $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$、凸面のおかげで、したがって、これは限界を証明します $+ \infty$ です $+\infty$。
同じ議論が $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$：注意するだけで十分です $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$。
ii）
グラフィカルにそれは明らかですが、私はそれを正式にすることにいくつかの問題があります。
制限が有限の場合、 $L$、それからすべてのために $\varepsilon >0$ が存在します $M(\varepsilon)$ そのような $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$
仮定する $f (x) \ne c$。凸面の定義により、それは保持する必要があります（$t \in [0,1]$） $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$
さて、限界の定義により、 $f(M)$ そして $f(M+1)$ 未満 $L-\varepsilon$。また、不等式のrhsの引数は単純化できます。
$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$
したがって、 $$L-\varepsilon < f(M-t)$$、これは矛盾です。 $M-t<M$ したがって、それはより大きくなる可能性があります $L-\varepsilon$。
そう $f$ と等しくなければなりません $c$。実際、この場合、それはまだ（自明に）凸状であり、限界はもちろん有限です。
回答
ヒント：凸関数が減少、増加、減少、増加のいずれかであることを証明してみてください。
凸面は通常「$\le$「ではなく」$\lt$"（それ以外の場合は「厳密に凸」です）。
fが常に無限大になることを示す必要はありません。なぜなら、そうする必要がないからです。
皮切りに $x\rightarrow\infty$。
最初に2つのポイントがあると仮定します $x\lt y$ と $f(x)\lt f(y)$。次に、fが無限大になることを示すことができます。一般性を失うことなく、次のように推測できます。$x=0$ そして $f(x)=0$ （そうでない場合は、fをスライドさせてシフトするだけです。関心のある動作は変わりません。）
いくつか考えてみてください $z>y$。以来$y>x=0$、その後 $z=y/t$ いくつかのための $0<t<1$。だから凸面によって、$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ そう $f(z)\ge f(y)/t$。なので$z\rightarrow \infty$ それは明らかです $t$ に行く $0$、 そう $f(y)/t\rightarrow\infty$ （覚えておいてください $f(y)>0$）したがって、そうなります $f(z)$。したがって、この場合$f$ 無限大に増加します。
そうでなければ、私たちの仮定は誤りだったので、fは一定であるか、そうでなければ非一定で単調減少する必要があります。後者だとしましょう。繰り返しますが、原点を移動して$f(0)=0$。次に$f(1)<0$ そして、凸性プロパティによって次のことを簡単に示すことができます。 $f(t)\le t f(1)$ など $f$ マイナス無限大になります。
次に、次のような動作について、対称性によって引数を繰り返すことができます。 $x\rightarrow-\infty$。