次の行列積が対称正定であるための必要(そして十分)条件?
いくつか修正する $n\times n$ 対称正定行列 $A$。次の行列積を考えてみましょう。
$$B = AC$$
どこ $C$ 任意です $n\times n$マトリックス。与えられた$A$、すべての正方行列に必要十分条件がわかっているかどうか知りたい $C$ 結果の行列が $B$対称正定値もありますか?私は(可能であれば)必要条件を知ることにもっと興味があります。
編集:
私は実際の行列だけに関心があります。
回答
場合 $C$ と通勤する正定値の実数行列です $A$ その後 $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$これは明確です。したがって、これは確かに十分条件です。
しかし、それは必要とは程遠いです。それを考慮してください$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$
私はそのようなことを完全に説明する良い状態になるとは確信していません $C$。
必要条件の1つは $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ さらに場合 $C$ 対称である場合、通勤します $A$ その後 $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ これは、 $C$ 以来、正の明確です $A^{-1}$ 同様にポジティブです。
完全な答えはほとんどありませんが、今のところそれだけです。