次の関数がリーマン積分可能であることを証明する

Aug 19 2020

しましょう $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$\ begin {equation *} f(x)= \ begin {cases} x&\ text {if} x = \ frac {1} {n}&\ text {for} n \ in \ mathbb {N}で定義されます、\\ 0&\ text {otherwise} \ end {cases} \ end {equation *}それを証明する$f$ リーマン積分です。

私はこれがこの機能という事実によって証明できることを知っています $f$ 可算数の点でのみ不連続です $\frac{1}{n}$、つまりリーマン積分です。

見つけることを含む手順を見たい $L(P,f)$ そして $U(P,f)$ どこ $P$ 引き継がれたパーティションです $[0,1]$。この手順を使用して、それがリーマン積分可能であることを証明することはできません。誰かが私を助けてくれますか?前もって感謝します。

回答

2 RRL Aug 19 2020 at 00:53

それを示すのは簡単です $L(P,f) = 0$ 任意のパーティション。

取る $x_k = 1/k$$\epsilon_n = 1/n^2$ (どこ $n$ が大きい)およびサブインターバルを含むパーティション

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ そしてそれを示す $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$

どんな場合でも $\epsilon > 0$ 私たちは選ぶことができます $n$ そのような $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ リーマン基準が満たされています。