次の制限を取得する方法: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Aug 17 2020

次の制限を取得する方法:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

させたら $x=r\cos \theta$ そして $y=r\sin \theta$ どこ $\theta\in (0, \pi/2)$、その後 $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

制限がないようです。

回答

3 user Aug 17 2020 at 15:54

この場合、多くの場合、変数変換を使用して分母で指数を等しくすることをお勧めします。 $x^4=u$ そして $y=v$ その後

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

そして、たとえば極座標によって、または2つの異なるパスを次のように仮定することによって簡単に結論付けることができます。 $u=\pm v$

1 KaviRamaMurthy Aug 17 2020 at 15:50

曲線に沿って $y=x^{4}$ 限界は $\frac 1 2 $ と一緒に $y=0$ それは $0$。したがって、制限は存在しません。