和証明の正弦

Question

私は公式を証明しています $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$オイラーの公式を使用して。この合計式は、正弦の導関数を証明するときに必要です。

私が見たオイラーの公式のすべての証明は、正弦と余弦の導関数を知る必要があるので、循環論法を行うかどうかだけを考えています。

Answer 1

彼の複雑な分析の本のAhlforsは定義します $e^z$ 方程式を満たすために $f'(z)=f(z)$ すべてのために $z$ 複素平面で、そして $f(0)=1$。この定義から、彼は次のべき級数展開を導き出します。$e^z$そしてそれがどこにでも収束することを示します。また彼は示しています$e^{a+b}=e^ae^b$導関数にライプニッツの法則を使用します。次に、を定義します$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ そして $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$。このオイラーの公式から、の導関数なしで導出できます。$\sin$。