湾曲した背景での繰り込み
湾曲した背景にいくつかの場の理論があり、計量テンソルがあるとします。 $g_{\mu \nu} (x)$位置の滑らかな関数です。簡単にするために、ラグランジアンを使ったスカラー理論を考えてみましょう。$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{2} g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \ \partial_\nu \phi + V(\phi) $$ 一般に、この演算子のグリーン関数は魅力がないように見える可能性があり、ループ積分の式が分析的に扱われる可能性はほとんどありません。
ただし、繰り込みは $UV$-効果、および距離での物理的プロセスを見ると、特徴的なスケールよりもはるかに小さく、 $g_{\mu \nu} (x)$ 変化すると、ほぼ一定に見えます。
ローカルで繰り込み手順を適用することは理にかなっていますか？
- 各ポイントで $x$ - セットする $g_{\mu \nu}$ 定数になる
- 部分積分してプロパゲーターを取得する場合、微分が作用するすべての項を無視します $g_{\mu \nu}$
- 結果の行列（グリーン関数）を運動量空間で対角化します。これは次の形式になります。 $A^{\mu \nu} (x) k_\mu k_\nu$ （合計はありません $\mu, \nu$ 想定）
- その基本にローカルでファインマンルールを適用する
結果として、私は結合定数が位置に依存することを期待しています $x$ある意味で。または、意味のあるものを取得するには、正確なグリーン関数を使用する必要がありますか？
回答
4点の手順について：運動量空間ファインマン規則の効用は、静的メトリックを使用したアクションで失われるアクションの並進不変性に由来します。 $g_{\mu\nu}(x)$ （全体的な要因は言うまでもありません $\sqrt{-g}$）。たとえば、運動量を保存するデルタ関数はありません。そして、に作用する導関数を持つすべての用語を無視する$g_{\mu\nu}$ グリーン関数の摂動補正を計算している間、制御されていない近似のように見えます。
ただし、繰り込みはUV効果であり、前述のように、フラットスペース手順からの何かが存続するはずです。完全な答えを出すことはできませんが、2つの方法が考えられます。
- 湾曲した背景上の標準QFT（たとえばキャロルを参照）。時空の方向を選択し、古典的なクライン-ゴルドン方程式（ガウス切り捨てラグランジアンの場合）を解いて、モードの完全なセットを取得します$f_i(x^\mu)$KG内積の下の正規直交。インデックス$i$連続または離散することができます。フィールドを展開$\phi = \sum_i (a_i f_i + a_i^* f_i^*)$いつものようにそれを量子化します。グリーン関数は$G(x,y) = \sum_i f_i(x) f_i^*(y)$。これで、位置空間ファインマンルールを実行して説明することができます。$\sqrt{-g} V(\phi)$ 訂正。
- 場合 $g_{\mu\nu}\approx\eta_{\mu\nu}$ 次に、ラグランジアンを次のように近似できます。 $-\frac12 \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \phi\partial_\nu \phi + \lambda(x) \tilde V(\phi,\partial \phi)$ どこ $\tilde V$ 運動項の一部が含まれるようになりました $V(\phi)$。そのような理論はあまり研究されていないようです（1つの研究）。しかし、原則として、位置空間ファインマン規則を進めることを妨げるものは何もありません。場合$|\lambda(x)|$有界であるため、摂動論が有効であると主張することもできます（通常の範囲で）。私が引用した研究は、1ループの修正を解決します$\lambda x^\kappa \phi^4$ 積分がそれほど難しくなく、RG固定点を見つける四次結合摂動。