予想されるヘッド数
与えられた $10$ 公正なコイン：
- 最初のラウンドでは、各コインを1回投げます。これにより、頭と尾の組み合わせが得られます。
- 第2ラウンドでは、第1ラウンドで尻尾に着地したコインのみを投げます。
この実験後の予想ヘッド数はいくつですか $?$
直感は私に $5 + 2.5 = 7.5$。
回答
別の解決策は次のとおりです。すべてのコインを2回裏返したと想像してください。そうすれば、最初のフリップまたは2番目のフリップであなたに頭を与えたコインはあなたが数えたいものの1つになるでしょう。2回のフリップで少なくとも1つのヘッドを獲得する確率は次のとおりです。$3/4$、したがって、少なくとも1つの頭を取得するコインの予想数は $10 \times 3/4 = 7.5$。
直感は運動を解決するのに十分ではありません...
最初のラウンドで予想される#Hは明らかに $10\times\frac{1}{2}=5$
第2ラウンドでは、
$Y|X\sim Bin\Big(10-x;\frac{1}{2}\Big)$
したがって、
$$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]]=\mathbb{E}\Bigg[\frac{10-x}{2}\Bigg]=5-\frac{1}{2}\mathbb{E}[X]=\frac{5}{2}$$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{}}$
\begin{align} &\overbrace{\color{#f44}{\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{1 \over 2}^{k} \pars{1 \over 2}^{n - k}}} ^{\substack{\ds{First\ Round:}\\[1mm] \ds{\color{#f44}{k}\ \mbox{heads}}}}\,\,\, \overbrace{\color{#44f}{\sum_{j = 0}^{n - k}{n - k \choose j}\pars{1 \over 2}^{j} \pars{1 \over 2}^{n - k - j}}} ^{\substack{\ds{Second\ Round:} \\[1mm] \ds{\color{#44f}{j}\ \mbox{heads}}}} \\[2mm] &\ \times\pars{k + j} \\[5mm] = &\ {1 \over 2^{2n}}\sum_{k = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{n - k}{n \choose k} {n - k \choose j}2^{k}\pars{k + j} = \bbx{{3 \over 4}\,n} \\[5mm] &\ \stackrel{\ds{n\ =\ 10}}{\ds{\implies}}\quad\bbx{7.5} \\ & \end{align}