ユークリッド空間を記号で正式に書き留めるにはどうすればよいですか？

Nov 27 2020

スペースは順序付けられたタプルであり、最初の要素はセットであり、次の要素は追加された構造を記述しています。 $(X, m)$ 距離空間の場合、 $(X, \tau)$位相空間の場合。ユークリッド空間の次の要素は何ですか？

私が理解している限り、私たちは必要です

$X=\mathbb R^n$ は、実数のすべてのnタプルのセットです（ $n\in\mathbb N$）
の要素が必要です $X$ ベクトルになる-線形に組み合わせる-スカラー倍算で可能 $\times$、フィールド $F$ と追加 $+$。
ドット積 $\cdot$ の要素間 $X$。
の要素の規範 $X$。これは本質的に内積に含まれていますか、それとも正確にするために明示的に述べる必要がありますか？追加の "は必要ありません$-$「？ http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf これも「」に含まれていることを示唆している$+$"。
の完全性 $X$ （これは本質的に $X=\mathbb R^n$？）
メトリック（これも本質的に規範に含まれていると思います $X$ ベクトルですよね？）

そのことから、ユークリッド空間は $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$。おそらく私も「$-$"。

だから：どうすればユークリッド空間を記号で正式に書き留めることができますか？

回答

1 Algebraic Nov 27 2020 at 22:46

あなたはすでにあなたの質問にユークリッド空間を書き留めました： $\mathbb{R}$。

あなたが含めたいと思うかもしれない他の唯一のことはあなたの測定基準です。いう$(\mathbb{R},d)$ は距離空間であり、任意の2点の距離であるdを定義します。

メトリックについて覚えておくべきいくつかの公理があります。

$d(x,x)=0$
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ （三角不等式と呼ばれます。直角三角形を考えてください。対角線を歩いて、必要な場所に移動します）

次のようなスペースに対して定義できるメトリックは多数あります。 $\mathbb{R^2}$、実際の平面; 最も一般的な存在$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

編集：

あなたは私が思ういくつかのトポロジーを学ぶ必要があるでしょう。デカルト積は、積空間であるより一般的な概念の一例にすぎません。トポロジーでは、連続性と開集合について説明します（これらはすべて同じように定義されているわけではありません）。いう$X,Y$ 位相空間であり、セット、 $U_{X_i}$ そして $V_{Y_i}$ それぞれのトポロジーでオープンです。

製品空間でトポロジーを定義します $X\,\,x\,\, V$他の2つのスペースのトポロジーを「継承」すると言うだけです。のサブセット$X\,\,x\,\, V$ 次の場合にのみ開いています $U\subset X$ そして $V\subset Y$両方とも開いています。これは、標準の距離空間にもまったく同じように適用されますが、代わりに、製品空間は距離を継承します。これは、「オープン」とは何かについてのアイデアを提供すると考えることができます。