有限次元のC *-代数の特性化?
Aug 18 2020
$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$しましょう $A$ 有限次元である $*$-代数以上 $\mathbb C$。
(つまり、対合を備えた結合多元環$*:A\to A$ 満足 $(ab)^*=b^*a^*$ そして $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$。)
のためにそれを仮定します $\forall a\in A$ 我々は持っています $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$。
それはそれに従いますか$A$ C *-代数ですか?
ここで、スペクトル $\Spec(x)$ 要素の $x$ スカラーのセットです $\lambda\in \mathbb C$ そのような $x-\lambda$ 可逆ではありません。
回答
7 Ruy Aug 18 2020 at 03:54
しましょう $V$複雑なベクトル空間であり、非自発的な反線形スター演算(たとえば、乗算が忘れられているC *代数)を備えています。装備$V$ 同じようにゼロの乗算で、すなわち $xy=0$ すべてのために $x$ そして $y$ に $V$。その後、のユニット化$V$反例です。実際、すべての要素$a$ の $V$ 冪零なので $\text{spec}(a) = \{0\}$。その結果、フォームの任意の要素のスペクトル$a-\lambda$ です $\lambda$ 必要な条件を簡単に確認できる場所から。
しかしながら $a^*a=0$ すべてのための $a$ に $V$、 そう $\tilde V$ C *-代数になることはできません。