有限次元のC *-代数の特性化?

Aug 18 2020

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$しましょう $A$ 有限次元である $*$-代数以上 $\mathbb C$
(つまり、対合を備えた結合多元環$*:A\to A$ 満足 $(ab)^*=b^*a^*$ そして $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$。)

のためにそれを仮定します $\forall a\in A$ 我々は持っています $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$
それはそれに従いますか$A$ C *-代数ですか?

ここで、スペクトル $\Spec(x)$ 要素の $x$ スカラーのセットです $\lambda\in \mathbb C$ そのような $x-\lambda$ 可逆ではありません。

回答

7 Ruy Aug 18 2020 at 03:54

しましょう $V$複雑なベクトル空間であり、非自発的な反線形スター演算(たとえば、乗算が忘れられているC *代数)を備えています。装備$V$ 同じようにゼロの乗算で、すなわち $xy=0$ すべてのために $x$ そして $y$$V$。その後、のユニット化$V$反例です。実際、すべての要素$a$$V$ 冪零なので $\text{spec}(a) = \{0\}$。その結果、フォームの任意の要素のスペクトル$a-\lambda$ です $\lambda$ 必要な条件を簡単に確認できる場所から。

しかしながら $a^*a=0$ すべてのための $a$$V$、 そう $\tilde V$ C *-代数になることはできません。