有限個の素数で構成される正の整数で構成される増加するシーケンスの連続する項の違い
Aug 16 2020
仮定 $\{x_n\}$ は、要素が有限個の素数で構成される正の整数である増加シーケンスです。 $p_1, \dots, p_s$。以下の制限を確認したい$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ の連続する項間の差の下限を与える結果を読みました $\{x_n\}$文学で。この結果は、連続する項間の差が発散することを意味します。しかし、上記の制限が無限であることを基本的に示すことはできますか？
回答
2 TonyK Aug 16 2020 at 18:57
mathoverflow.netのFelipeVolochからのこの回答は関連しています。
はい、確かにこの種の方程式ax + by = cは、a、b、cが非ゼロで固定されており、x、yが有限集合の素因数のみを持つことが許可されている場合、解は有限数しかありません。これは、曲線上の積分点に関するSiegelの定理の特殊なケースです。
選択 $a=1$ そして $b=-1$、 そのため $x-y=c$ 与えられたものに対して有限の数のソリューションしかありません $c$。したがって、ペアは有限です。$x,y$ と $|x-y|<M$ 任意の与えられた $M$。
残念ながら、シーゲルの定理は決して初歩的なものではありません。初等的証明はないと思います。