有限群のランクとその表現
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$しましょう $G$ 有限群であり、そして $C=\Rep(G)$ の複雑な有限次元表現のモノイド圏である $G$。なので$C$ は有限で半単純であり、すべての表現を $\oplus$ と有限集合 $I$既約表現の。古典的指標理論によれば、間に（非標準的な）全単射があります$I$ そして $\mathrm{Conj}(G)$。このスレッドでは、両側の全単射がある場合は、それを考慮して理解したいと思います。$\otimes$。
より正確に言うと、 $V$ の既約の忠実な表現である $G$。次に、すべての表現はのサブモジュールとして発生します$V^{\otimes n}$ いくつかのための $n$（これとこれを参照）、およびその逆！それから私達はそれを言う$V$ それ自体が生成します $C$ 下 $\otimes$そしてコーシーの完成。ただし、すべてのグループが既約の忠実な表現を持っているわけではありません。同じ投稿で、これは主にのソクルの「ランク」を扱っていることがわかります$G$。
要約すると、ランクを定義し、 $\rank(G)$、生成に必要な要素の最小数になる $\mathrm{socle}(G)$活用中。ランクを定義し、$\rank(C)$、生成するために必要な既約元の最小数になる $C$ 下 $\otimes$そしてコーシーの完成。次に
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
質問
この同等性は一般化されますか
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
自然数ごとに $n$？
（編集Qiaochuがコメントで指摘したように、これはポントリャーギン双対性による有限アーベル群に当てはまります。）
回答
あなたの質問への答えはイエスであり、論文Žmudʹ、Èの主要な定理です。M.有限群の同型線形表現について。マット。Sb。NS 38（80）（1956）、417–430。
これは、有限群の文字の245ページの定理5にあります。パート1。BerkovichとŽmudʹによる。この定理は、異なるが同等の方法で表現されており、Gaschutzの定理と非常によく似た方法で証明されています。
Žmudʹの定理は次のように述べています $G$ に忠実な表現を持っています $k$ 既約の構成要素は、 $G$ せいぜい通常のサブグループとして生成できます $k$要素。特に、の通常の生成元の最小数$\mathrm{socle}(G)$ のいくつかの忠実な表現における既約構成要素の最小数と一致します $G$。
今では観察するだけで十分です $\mathrm{rank}(C)$ の忠実な表現における既約構成要素の正確な最小数です $G$。確かに、$V$ が任意の忠実な表現である場合、バーンサイドの定理（またはR.スタインバーグの一般化）は、すべての既約加群がテンソルの累乗の直接加群であることを示しています。 $V$ したがって、の既約成分 $V$ 生む $C$テンソル積の下で、直和と直和を取ります。一方、$\rho_1,\ldots, \rho_k$ 直和が忠実ではない既約表現である場合、 $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ 直和、テンソル積、および直接加群の演算の下で、対応する単純加群によって生成されたサブカテゴリ内のすべてのモジュールのIDとして機能するため、これらの既約表現は生成できません。 $C$。
したがって、 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$