ユニタリー除数のブール環/ユニタリー除数の構造？

Aug 21 2020

この質問がMOに適切であることを願っています。

させて$n$自然数であること、$U_n := \{ d | d \text{ divides } n, \gcd(d,n/d)=1\}$ユニタリー除数のセットになります。

私たちは作れる$U_n$ブール環へ：

$$a \oplus b := \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}$$と$$a \otimes b := \gcd(a,b)$$

させて$\Pi(n) := \{ p | p \text{ is prime}, p| n\}$の素数除数のセットである$n$。開集合が存在するこの集合にトポロジーを定義できます

$$ \{ \Pi(d) | d \text{ divides } n \}$$

それから$$\Pi(\operatorname{rad}(ab)) = \Pi(a) \cup \Pi(b)$$と$$\Pi(\gcd(a,b)) = \Pi(a) \cap \Pi(b)$$

どこ$\operatorname{rad}(x) = \prod_{p|x}p$の部首です$x$。

開いている各セットに$U$数を定義します

$$\operatorname{rad}(U):= \prod_{p \in U}p$$

開集合は、次のブール環も構築します。

$$U \oplus V := U \Delta V$$どこ$\Delta$は対称差を示し、$$U \otimes V := U \cap V$$

それで$\operatorname{rad}$ブール環の同型です：

$$\operatorname{rad}(U \oplus V) = \operatorname{rad}(U) \oplus \operatorname{rad}(V)$$ $$\operatorname{rad}(U \otimes V) = \operatorname{rad}(U) \otimes \operatorname{rad}(V)$$また$\operatorname{rad}(\emptyset) = 1$、どこ$1$のゼロです$U_{\operatorname{rad}(n)}$と$\operatorname{rad}(\Pi(n)) = \operatorname{rad}(n)$、どこ$\operatorname{rad}(n)$の1つです$U_{\operatorname{rad}(n)}$。

さらに、$k(a,b) = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab} = \frac{1}{a\oplus b}$自然数と類似性の正定値関数であり、このブール環を埋め込むことができます$U_n$ユークリッド空間で等尺性$\mathbb{R}^{2^{\omega(n)}}$（中心のある半径1の球上$0$）どこ$\omega(n)$の明確な素数除数を数えます$n$そして、2つの単一除数間の距離を定義できます。

$$ d(a,b) = \sqrt{k(a,a)+k(b,b)-2k(a,b)} = \sqrt{2(1-\frac{1}{a\oplus b})}$$

すべての人にも$a,b,c \in U_n$我々は持っています：

$$k(c\oplus a , c \oplus b ) = k(a,b)$$

私の（ソフト）質問はこれです：

これは、おそらく数論において、何かに役立つのでしょうか？：）ご協力いただきありがとうございます。

回答

mathoverflowUser Mar 23 2022 at 18:29

コメントするには長すぎるので、2年後に回答を書いています。:-)最後に何か便利なもの。

アイデア：整数構成<->有限集合の部分集合<->単一除数のボリアンリング

整数構成：https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics)

Sagemath：https://doc.sagemath.org/html/en/reference/combinat/sage/combinat/composition.html

整数作曲は、小節の長さを操作するためのアルゴリズム作曲/音楽で役立つ可能性があります。

（例：上記のカーネルを使用して、期間（/整数構成）の観点から2つのバーがどれだけ離れているか/近くにあるかを最近傍で測定できます。）

アルゴリズム作曲：

バーの長さに関連するすべてのバーに、整数の構成。

例えば：

 Durations of bar:                1/4,1/4,1/8,1/8,1/4 

 composition of the integer n=8:   2,   2,  1 , 1 , 2 ( 2+2+1+1+2  = 8)                

 subset of {1,2,..,n-1} :         {2,4,5,6}

 unitary divisors of P_{n-1} = 2*3*...*p_{n-1}:     3*7*11*13 = 3003

これらの特徴ベクトルの（高価なコレスキー分解を計算する必要なしに）直接埋め込みを計算する必要がある場合、これを行う方法の例を次に示します。

させて$e_d$になります$d$-ヒルベルト空間の標準基底ベクトル$H=l_2(\mathbb{N})$。させて$h(n) = J_2(n)$2番目のヨルダンのトーティエント関数になります。定義：