残差有限半直積

Question

問題

しましょう $G=N \rtimes_{\phi} Q$ どこ $N\lhd G$ 有限生成および残差有限および $Q$残差有限。それを示す$G$ 残差有限です

試みる

そんなこと知ってる

• $N$ 残差有限でfgは $N$ ホプフィアンです

• $N$ 残差有限でfgは $Aut(N)$ 残差有限です。

場合 $1\not= nq \in G$ と $q\not=1$ その後 $nq\mapsto qN \not=1$ 投影の下で $G\to G/N\cong Q$ その後 $\exists K$ 有限で $t: Q\to K$ st $t(q)\not=1$。

したがって、次の場合に対処する必要があります。 $1\not=nq\in G$ そして $q=1$ すなわち $qn=n\in N$。そんなこと知ってる$\exists K$ 有限で $t:N\to K$ st $t(n)\not=1$ しかし、私はこの準同型を因数分解できますか $G$ どういうわけか？

マルチェフの「有限群への準同型について（1958）」にその証拠があることは知っていますが、記事が見つかりません。

Answer 1

以来 $N$ 有限生成され、 $K$ は有限であり、群準同型は有限にしかありません $N \to K$。

だから交差点 $L$ それらのカーネルのは有限のインデックスを持っています $N$、そしてそれはで特徴的です $N$ したがって、通常 $G$。次に$LQ$ に有限のインデックスがあります $G$ 含まれていません $N$。