随伴関手がモノを保存するための条件は？
随伴ペアが与えられた $L \dashv R$ とモノ $f \in \text{Hom}(X, RY)$、保証するいくつかの条件は何ですか $\tilde{f} \in \text{Hom}(LX, Y)$まだモノですか？随伴関手と同等のサブカテゴリに注意を向ければ、明らかにこれは簡単になりますが、もっと一般的な条件が必要です。これは人々が考えていたようなもののように感じますが、私はそれについての参照を見つけることができないようです。
以来 $\tilde{f} = \epsilon_Y \circ Lf$ （どこ $\epsilon$ は随伴関手の共同体です）、それを示すのに十分でしょう $Lf$ そして $\epsilon_Y$どちらもモノです。ただし、この条件は制限的であり、満たすのが困難です。なので$L$は左随伴作用素であり、モノラルでうまく機能する理由はありません（モノラルが分割されている場合などを除く）。同様に、$\epsilon_Y$ モノではなくエピになる傾向があります。
頭に浮かぶことの1つは $\epsilon_Y$すべてがモノである必要はありません。持っていれば十分です$\epsilon_Y \upharpoonright \text{im}(Lf)$モノラル（あなたのカテゴリーがこれが意味をなすのに十分豊富であるという条件で）。そうは言っても、もっとうまくやれるかどうかはわかりません。この質問を引き起こした問題に（もしあれば）どれが役立つかわからないので、私はできるだけ多くの方法を探しています。
前もって感謝します！
回答
一般的な随伴ペアの場合 $L\dashv R$、モニックが与えられた $f:X\to RY$、その付属物 $\tilde f=\epsilon_Y\circ Lf$ モニックであることは必要です $Lf$ モニックになることも（実際、一般的には $p\circ q$ モニックです、そして $q$モニックでなければなりません）。この時点で、$\epsilon_Y\circ Lf$ モノはおそらく持っていることによって最も簡単に行われます $\epsilon_Y$ モニックにもなります（そうでない場合は、の付属物をチェックするのも同様です $f:X\to RY$ あなたはケースバイケースで気にします）。
実際、 $L\dashv R$あなたが定義した意味ですべてのモノを保存し、特に$\epsilon_Y:LRY\to Y$ う、それはアイデンティティの補助であるため、モニックでなければなりません$\def\id{\operatorname{id}}\id_{RY}$、これはモニックです。（より一般的には、$f:X\to RY$ あなたが気にかけているのは同型になり、あなたは取らざるを得ない $\epsilon_Y$ モニック。）これらを組み合わせると、
$L\dashv R$コユニットがモニックである場合にのみ、定義した意味でモノを保持します。$L$ モノを保存します。
したがって、ある意味では、十分条件を見つけることを除いて、これよりもうまくいくことはできません。 $L$ モノを保存し、コユニットをモニックにするため。
たとえば、ここでの命題2.4は、次の場合にのみ、コユニットが分割モニックであることを示しています。$R$がいっぱいです。これは比較的簡単に確認できる状態です。はどうかと言うと$L$ モノを保存するための強力な十分条件は $L$ 制限を保持します（たとえば、 $L$は右随伴でもある）ので、例えば次の十分条件があります：
$L\dashv R$ 随伴トリプルの一部である場合は常に、定義した意味でモノを保持します $F\dashv L\dashv R$ そして $R$ 一杯。
たとえば、 $L:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ 忘却関手で、左右の随伴作用素と右随伴関手があります $R:\mathbf{Set}\to\mathbf{Top}$セットにコディスクリートトポロジーを付与します。セットのマップが共離散空間間のマップとして自動的に連続しているという理由だけで、右随伴も完全に忠実です。（ただし、この場合、それを確認するのはすでに簡単です。$L$ モニックを保持し、 $\epsilon_Y:LRY\to Y$ セットのアイデンティティです $Y$ 多くの努力なしで。）