随伴関手の自然同型写像は、随伴関手によって一意に決定されますか？
adjunctionはトリプルです$(F, U, \zeta)$、 どこ
- $F\colon C\to D$ そして $U\colon D\to C$ ファンクターであり、
- $\zeta$ 関手間の同型写像です $\operatorname{Hom}(-, U(-))$ そして $\operatorname{Hom}(F(-), -)$。
ファンクターにとってそれは起こり得ますか $F\dashv U$ 2つの異なる自然同型があります $\zeta$ そして $\zeta'$ そのような $(F, U, \zeta)$ そして $(F, U, \zeta')$ 随伴関手ですか？
どのように異なることができますか $\zeta$ そして $\zeta'$でしょうか？たとえば、各随伴関手$(F, U, \zeta)$ サブカテゴリ間の同等性を誘発します
- $C_{\zeta}:=\{A\in C\mid \eta_A\colon A\to U(F(A))\text{ is an isomorphism}\}\leq C$
- $D_{\zeta}:=\{B\in D\mid \epsilon_B\colon F(U(B))\to A\text{ is an isomorphism}\}\leq D$、
どこ $\eta$ そして $\epsilon$ によって誘発されるユニットとコユニットです $\zeta$、それぞれ。
それは起こり得ますか $C_{\zeta}\neq C_{\zeta'}$ そして $D_{\zeta}\neq D_{\zeta'}$？
回答
関手を与えられた $U:\mathcal D\to\mathcal C$、左随伴 $F$ （および随伴単位）は、はるかにローカルに定義できます。 $x\in\mathcal C$、初期オブジェクトがあります $\eta_x:x\to U(F_x)$でコンマカテゴリ $(x\downarrow U)$、その後、すべてのそのような初期オブジェクトの選択を修正できます $x$ そしてそれらを左随伴にコンパイルします $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 送信によって誘発 $x\mapsto F_x$、随伴単位は $\eta_x$。これについては、命題1.9で説明しています。
特に、一部の場合 $x\in\mathcal C$ の1つの選択肢 $\eta_x:x\to U(F_x)$は同型であり、ユニットのすべての可能な選択肢$\eta'_x:x\to U(F_x')$初期オブジェクトは一意の同型を除いて一意であるため、同型である必要があります。特に、任意の2つの自然同型写像について$\zeta,\zeta':\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$、 $\mathcal C_\zeta=\mathcal C_{\zeta'}$。二重に、私達はまた持っています$\mathcal D_\zeta=\mathcal D_{\zeta'}$。
ただし、これは、ユニットとコユニットの選択がコンポーネントごとに一意の同型を除いて（適切なコンマカテゴリで）のみであり、したがって厳密に一意ではないことも示しています。単位と共単位は自然同型によって一意に決定されるため$\zeta:\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$ （特に、 $\eta_x:x\to U(F(x))$ 下のpreimgaeです $\zeta$ の $\operatorname{id}:F(x)\to F(x)$ そして $\epsilon_y:F(U(y))\to y$ 下の画像です $\zeta$ の $\operatorname{id}:U(y)\to U(y)$）、これは自然同型が $\zeta$どちらも一意ではありません。