随伴関手を証明する $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$
私はそれを思い出します $\Delta$ オブジェクトが次の形式のカテゴリです $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ 射は(弱く)順序を維持するマップです。
しましょう $\mathcal{C}$ カテゴリになり、 $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ の共単純オブジェクトの関手圏になる $\mathcal{C}$。
ファンクターがあります $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ 共単純なオブジェクトを取ります $X[-]$ でその値に $0$、 $X[0]$。
ファンクターもあります $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ オブジェクトを取る $C$ 一定の関手に $rC$ そのような $rC[n]=C$ すべてのために $n$。
随伴関手があるという主張を読んだ $$\text{ev}_0 \dashv r$$ そしてそれを証明したいと思います。
自然な変化を考えると $\eta: X[-] \Rightarrow rC$、もちろん地図に送ることもできます $\eta_0:X[0]\to C.$
一方、私は図を考えることができます $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ それぞれここに $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ 全射によって誘発されます $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ 送信 $n \mapsto n-1$ そして $i \mapsto i$ すべてのために $i<n$。
だから地図を与えられた $f:X[0] \to C,$ 私は帰納的に定義することができます $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$
この家族を証明すれば $\{f_i\}_i$共単純なセットのマップ、つまり自然変換を定義します。これで完了です。しかし、私はそれを一般的な地図で行う方法がわかりません$X[i]\to X[j].$
回答
それぞれについて $n$ ユニークな地図があります $!_n : n \to 0$ に $\Delta$。仮定$\alpha : X \implies r(c)$自然な変化です。それから地図で自然に$!_n$、コンポーネント $\alpha_n$ と等しくなければなりません $\alpha_0 \circ X(!_n)$。したがって、自然な変化$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ によって完全に決定されます $\alpha_0$。
一方、 $\alpha_0 : X(0) \to c$ の射です $\mathcal{C}$ それから私たちはそれを自然変換に持ち上げることができます $\alpha : X \implies r(c)$ コンポーネントを定義することによって $\alpha_m : X(m) \to c$ することが $\alpha_0 \circ X(!_m)$。これは本当に自然な変化です。$f:n \to m$ に $\Delta$ その後 $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$。