เฉพาะวงรีเท่านั้นที่มีคุณสมบัติเหล่านี้หรือไม่?
เส้นขนานสองเส้นสัมผัสกันเป็นวงรี ระหว่างสองเส้นนั้นทุก ๆ เส้นที่ขนานกับสองเส้นนั้นจะตัดวงรีออกเป็นสองจุด
จุดกึ่งกลางที่แม่นยำระหว่างสองจุดนั้นอยู่ตรงกับเส้นที่เชื่อมต่อจุดสัมผัสทั้งสอง
คำถามของฉันคือว่าประพจน์สุดท้ายนั้นเป็นจริงสำหรับทุกคู่ของแทนเจนต์คู่ขนานสำหรับวงรีเท่านั้นและไม่มีรูปร่างอื่น
ป.ล. :เพื่อจุดประสงค์ในปัจจุบันให้นิยาม "สัมผัส" เป็น "สัมผัส แต่ไม่ข้ามขอบเขต" จากนั้นเส้นเฉียงผ่านมุมของรูปสี่เหลี่ยมจะเป็น "แทนเจนต์" และเราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ใช่ตัวอย่างของรูปร่างอื่นที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ
PPS:โอเคมาปรับแต่งคำชี้แจงของปัญหากันสักหน่อย พิจารณาฉากกั้นปิดที่มีการตกแต่งภายในที่ไม่ว่างเปล่าในเครื่องบิน สมมติว่ามันนูนอย่างเคร่งครัดกล่าวคือทุกจุดระหว่างสองจุดของมันคือหนึ่งในจุดภายในของมัน สิ่งนี้ทำให้เกิดเส้นที่ตัดกันขอบเขต แต่ไม่ใช่ภายในตัดกันเพียงจุดเดียว เรียกเส้นดังกล่าวว่าเส้นสัมผัส ตามนั้นสำหรับเส้นสัมผัสทุกเส้นจะมีเส้นสัมผัสอีกเส้นขนานกัน สมมติว่าสำหรับทุกเส้นที่ขนานกับสองเส้นนั้นและระหว่างเส้นนั้นจุดกึ่งกลางของจุดตัดของเส้นนั้นกับชุดนูนที่มีขอบเขตปิดของเราอยู่บนเส้นที่เชื่อมต่อจุดสัมผัสทั้งสอง
เป็นไปตามที่กำหนดขอบเขตปิดของเราคือตัวถังนูนของวงรีหรือไม่?
คำตอบ
เส้นโค้งที่แตกต่างกันของแต่ละส่วนนูนที่ปิดด้วยคุณสมบัติแทนเจนต์ที่กำหนดคือวงรี
การพิสูจน์ : ปัญหาคือความเกี่ยวข้องในแง่ที่ว่าถ้าเส้นโค้งมีคุณสมบัติที่กำหนดแล้วการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับมัน ดังนั้นเริ่มต้นด้วยคู่ของเส้นสัมผัสที่ขอบเขตกว้างที่สุดของเส้นโค้งใช้การหมุนเพื่อทำให้เส้นสัมผัสในแนวตั้งและแรงเฉือนเพื่อนำเส้นโค้งไปที่ $\mathcal{C}$ ซึ่งเส้นสมมาตรคือ $x$-แกน.
ตอนนี้ใช้สัมผัสคู่แนวนอนบน $\mathcal{C}$พบกันที่จุดสองจุดหนึ่งในแนวตั้งเหนืออีกจุดหนึ่ง แปลให้เส้นแนวตั้งนี้คือ$y$แกน. แล้ว $\mathcal{C}$ สมมาตรเกี่ยวกับทั้งสอง $x$ และ $y$แกน การปรับขนาดตามแกนเหล่านี้ทำให้เกิดการสกัดกั้น$1$. จุดอื่น ๆ ทุกจุดมีรัศมีมากที่สุด$1$โดยวิธีการเลือกแทนเจนต์ดั้งเดิม
ข้อเสนอ 1. $\mathcal{C}$ มีความสมดุลกล่าวคือ $x\in \mathcal{C}\implies -x\in\mathcal{C}$.
สิ่งนี้ตามมาโดยตรงจากสมมาตรตามแกนตั้งฉากทั้งสอง
ดังนั้นการกำหนดเส้นสัมผัสคู่ใด ๆ เส้นที่เชื่อมกับจุดสัมผัสจะผ่านจุดกำเนิด
ข้อเสนอที่ 2 เส้นโค้งมีความแตกต่างกัน
เข้าร่วมมุมตรงข้ามโดยเส้นผ่านจุดเริ่มต้น แล้ว$\mathcal{C}$ จะมีระยะทางเท่ากันจากเส้นนี้ตามเส้นขนานสองชุดซึ่งทำให้เกิดความขัดแย้ง
$\hspace{4cm}$
ข้อเสนอ 3. จุดใดก็ได้ $\mathcal{C}$ มีรัศมี $1$ มีสัมผัสที่ตั้งฉากกัน
จุดที่มีรัศมีสูงสุด $r(\theta)=1$ จำเป็นต้องมี $r'=0$.
ข้อเสนอที่ 4. ถ้า $OA$ และ $OB$ มีรัศมีของ $1$ แล้วเส้นแบ่งครึ่งมุมของมันก็เช่นกัน $OC$.
แทนเจนต์ขนานกับ $AB$ สัมผัสกับเส้นโค้งในบางจุด $C$. เส้น$OC$ ตัด $AB$ ครึ่งหนึ่งโดยสมมุติฐานจึงเป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งมุมของ $AOB$และตั้งฉากกับ $AB$. ด้วยประการฉะนี้$\mathcal{C}$ สมมาตรเกี่ยวกับ $OC$ และแทนเจนต์ที่ $C$ ตั้งฉากกับ $OC$.
$\hspace{3cm}$
ให้สัมผัสที่ $C$ พบกับสัมผัสที่ $A$ ตรงจุด $P$. พิจารณาเส้นสัมผัสขนานกับ$AC$ และเส้น $Q'OQ$เข้าร่วมสัมผัสตรงข้าม เส้นนี้ผ่านจุดกึ่งกลางของ$AC$โดยสมมุติฐาน ในจุด จำกัด จุดใกล้เคียง$A'$ บน $AP$ และ $C'$ บน $CP$ ด้วย $A'C'$ ขนานกับ $AC$ ยังแบ่งเป็นสองส่วนด้วย $OQ$ ตั้งแต่ $AP$ และ $CP$ เป็นสัมผัสกับ $\mathcal{C}$. แต่นี่หมายความว่า$OQ$ คือค่ามัธยฐานของ $APC$และด้วยเหตุนี้ $Q$ เปิดอยู่ $OP$. ตั้งแต่$OAPC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $OP$คอร์ดแบ่งครึ่ง $AC$ ตั้งฉากกับ $OP$ และอื่น ๆ $OC=OA=1$.
ข้อเสนอ 5. $\mathcal{C}$ เป็นวงกลม
ตั้งแต่ $x$ และ $y$ การสกัดกั้นมีรัศมี $1$เราสามารถหาเส้นแบ่งครึ่งมุมไปเรื่อย ๆ สร้างชุดของจุดรัศมีที่หนาแน่น $1$. โดยความต่อเนื่องทุกจุดมีรัศมีเท่ากัน
ดังนั้นเส้นโค้งเดิมจึงเป็นการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของวงกลมกล่าวคือวงรี