การจำแนกประเภทของท่อร่วมขนาดกะทัดรัดเรียบขนาด 3.
ฉันรู้จักการจำแนกประเภทของท่อร่วมแบบเรียบขนาดกะทัดรัด 2 พวกมันมีความแตกต่างกับทรงกลมที่มี n "หู" (ผลรวมที่เชื่อมต่อของ n tori) หรือทรงกลมที่มีแถบ m mobius (ผลรวมที่เชื่อมต่อของ m ระนาบฉายจริง) ฉันรู้เพียงว่าสมมติฐานทางเรขาคณิตที่พิสูจน์โดย Perelman กล่าวว่ามีอะไรบางอย่างเกี่ยวกับท่อร่วม 3 ท่อ แต่ฉันไม่พบการจำแนกที่แม่นยำเหมือนกันข้างต้นสำหรับท่อร่วมขนาดเล็กที่เรียบกะทัดรัด 2 ถ้าใช่คุณสามารถฝากลิงค์ไว้หรือเขียนในความคิดเห็นได้ไหม
คำตอบ
ท่อร่วมเรียกว่าไพรม์ถ้าเมื่อใดก็ตามที่เป็น homeomorphic กับผลรวมที่เชื่อมต่อหนึ่งในสอง summands คือ homeomorphic เป็นทรงกลม
ในมิติที่สองท่อร่วมไพร์มปิดคือ $S^2$, $\mathbb{RP}^2$และ $S^1\times S^1$. จากการจำแนกประเภทของพื้นผิวท่อร่วมสองมิติแบบปิดทุกชิ้นจะมีลักษณะเป็น homeomorphic กับผลรวมของท่อร่วมที่สำคัญ ในกรณีที่ปรับทิศทางได้ summands ที่เชื่อมต่อจะไม่ซ้ำกัน$S^2$ summands (คุณสามารถเชื่อมต่อ sum กับ $S^2$โดยไม่ต้องเปลี่ยนแปลงอะไรเลย) ในกรณีที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้เราไม่มีความเป็นเอกลักษณ์อีกต่อไป$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ เป็น homeomorphic เพื่อ $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. อย่างไรก็ตามเราสามารถกู้คืนความเป็นเอกลักษณ์ (ไม่เกิน summands ทรงกลม) หากมีการห้ามใช้$S^1\times S^1$ summands.
มีเรื่องราวที่คล้ายกันสำหรับท่อสามส่วนแบบปิด ทฤษฎีบทการสลายตัวที่สำคัญสำหรับท่อร่วมสามท่อกล่าวว่าทุก ๆ ท่อร่วมสามท่อที่ปิดจะมีลักษณะเป็น homeomorphic กับผลรวมของท่อร่วมที่มีค่า หากกรณีที่ปรับทิศทางได้ summands ที่เชื่อมต่อจะไม่ซ้ำกัน$S^3$summands. ถ้า$M$ ไม่สามารถปรับทิศทางได้จากนั้นความเป็นเอกลักษณ์จะไม่ถูกยึดอีกต่อไปอย่างไรก็ตามเราสามารถกู้คืนความเป็นเอกลักษณ์ได้โดยห้ามใช้ $S^2\times S^1$ เป็นหนึ่งใน summands ที่เชื่อมต่อกัน
ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างมิติที่สองและสามคือมีสามไพร์มไพร์มสามมากมายมากมาย ในกรณีที่ปรับทิศทางได้จะแบ่งออกเป็นสามประเภท:
- มากมายเหล่านั้นครอบคลุมโดย $S^3$,
- มากมาย $S^2\times S^1$และ
- ท่อร่วมทรงกลมแบบปรับทิศทางได้
นอกจากนี้ยังสามารถจำแนกประเภทเหล่านี้ผ่านทางกลุ่มพื้นฐาน ได้แก่ จำกัด วงรอบไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุดที่ไม่ใช่วัฏจักรตามลำดับ
อย่างไรก็ตามในกรณีที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้มีไพรม์แมนิโฟลด์ที่สำคัญมากเกินไปที่จะยอมรับการจำแนกประเภท ดูคำตอบสำหรับคำถามนี้ของฉัน
ในมิติที่สี่เราไม่มีเอกลักษณ์อีกต่อไปแม้ในกรณีที่ปรับทิศทางได้ ตัวอย่างเช่น,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ เป็น homeomorphic เพื่อ $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. สังเกตความคล้ายคลึงกับข้อเท็จจริงที่ว่า$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ เป็น homeomorphic เพื่อ $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.