การตีความทฤษฎีโมนาดิคของเรอัลในทฤษฎีโมนาดิกของลำดับเชิงเส้น
ด้านล่างเป็นสารสกัดจากซค์, เชลาห์ - ลอจิกการสั่งซื้อล่ามที่สองในทฤษฎีเอกของคำสั่ง ฉันพยายามทำความเข้าใจว่าทฤษฎีโมนาดิคของเส้นจริงนั้นตีความได้อย่างไรในทฤษฎีลำดับโมนาดิค (ไม่รวมถึงคำอธิบายหรือการพิสูจน์ใด ๆ เพิ่มเติมเพียง แต่บอกว่าสามารถทำได้อย่างง่ายดาย)

คำจำกัดความที่อาจเป็นประโยชน์มีดังนี้ ถ้า$(\alpha,<)$ เป็นลำดับเชิงเส้นตาม 'ทฤษฎีโมนาดิคของ $\alpha$'หมายถึงทฤษฎีลำดับแรกของโครงสร้าง $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ ที่ไหน $<$ คือคำสั่งของ $\alpha$มอบให้กับชุดย่อยซิงเกิลตัน 'ทฤษฎีการสั่งซื้อแบบ monadic' คือจุดตัดของทฤษฎีลำดับแรกทั้งหมดนี้ตามที่เราอนุญาต$\alpha$ ที่จะแตกต่างกันไปตามคำสั่งเชิงเส้นทั้งหมด
บางทีอาจมีสัจพจน์บางอย่างที่เรียกซ้ำ $T_{\mathbb{R}}$ เช่นนั้นถ้าเราใช้การรวมกันของทฤษฎีคำสั่งแบบ monadic ด้วย $T_{\mathbb{R}}$ เราได้รับทฤษฎีที่สมบูรณ์ของโครงสร้าง $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$เหรอ? (ที่น่าสังเกตทั้งทฤษฎี monadic ของคำสั่งและทฤษฎี monadic ของ$\mathbb{R}$ ไม่สามารถตัดสินใจได้)
ฉันไม่พบการตีความที่ 'ง่าย' นี้ แต่รู้สึกว่าฉันอาจพลาดบางอย่างที่ชัดเจน
คำตอบ
ฉันไม่เห็นวิธีแก้ไขกลยุทธ์ดั้งเดิมของฉัน - โดยเฉพาะแม้ว่าฉันจะไม่มีตัวอย่างการตอบโต้ แต่ฉันก็สงสัยว่า "เป็นคำสั่งเชิงเส้นที่สมบูรณ์แบบของ Dedekind โดยไม่มีจุดสิ้นสุดหรือจุดแยกซึ่งทุกเส้นขอบย่อยมีความเป็นเอกภาพและความเป็นเหรียญ $\le \omega$" ไม่จำเป็นต้องปักหมุด$\mathbb{R}$ มากถึง isomorphism
อย่างไรก็ตามเรายังคงได้รับการลดลงที่คาดหวังไว้ (แม้ว่าในภาพรวมจะไม่ได้ให้การตีความตามตัว แต่ก็ยังคงคิดถึงเรื่องนั้นอยู่) บอกว่าลำดับเชิงเส้น$A$ คือ $\mathbb{R}$ish ถ้าเป็น Dedekind-complete และไม่มีจุดสิ้นสุดหรือจุดแยก ข้อสังเกตที่สำคัญมีดังต่อไปนี้:
(เลมมา)ทุกๆ$\mathbb{R}$ish order มี isomorphic ลำดับย่อยถึง $\mathbb{R}$และทุกๆ $\mathbb{R}$ish ย่อยของ $\mathbb{R}$ isomorphic ถึง $\mathbb{R}$.
ประเด็นก็คือว่า $\mathbb{R}$อยู่ที่ด้านล่างสุดของคลาสที่กำหนด MSO ได้ในความหมายที่กำหนด MSO ได้ ดังนั้นเราจึงสามารถทำการแปลต่อไปนี้:
(คำจำกัดความ)สำหรับประโยค MSO$\varphi$, ปล่อย $\hat{\varphi}$ เป็นประโยค MSO "ทุก $\mathbb{R}$ish order มี $\mathbb{R}$ish เป็นที่น่าพอใจ $\varphi$.”
โดยเลมมาเรามีสิ่งนั้น $\hat{\varphi}$ เป็นส่วนหนึ่งของ MSO-theory of order iff $\mathbb{R}\models\varphi$:
ถ้า $\mathbb{R}\not\models\varphi$ แล้ว $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$เนื่องจากทั้งหมด $\mathbb{R}$ish suborders ของ $\mathbb{R}$ isomorphic ถึง $\mathbb{R}$ ตามคำนามและด้วยเหตุนี้จึงไม่เป็นที่พอใจ $\varphi$.
ในทางกลับกันถ้า $\mathbb{R}\models\varphi$ แล้วทุก $\mathbb{R}$ish ลำดับเชิงเส้นมี $\mathbb{R}$ish เป็นที่น่าพอใจ $\varphi$ - กล่าวคือ isomorphic หน่วยย่อยใด ๆ ถึง $\mathbb{R}$ ซึ่งได้รับการรับรองว่ามีอยู่ตามคำย่อ
แผนที่ $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนดังนั้นเราจึงได้รับการลดลง $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ ตามทฤษฎี monadic ตามที่ต้องการ