การแยกเลขเอกซ์โพเนนเชียลของตัวดำเนินการตัวเลขและตัวดำเนินการสร้างและการทำลายล้าง
มีวิธีคลายเลขชี้กำลังของผลรวมของจำนวนการทำลายล้างและตัวดำเนินการสร้างหรือไม่? ตัวอย่างเช่น,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
ที่ไหน $G$, $A$และ $B$ คือแต่ละฟังก์ชันของพารามิเตอร์ทั้งสาม $\alpha$, $\beta$และ $\gamma$.
คำตอบ
ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวทางที่ดีโดยพื้นฐานของคุณเนื่องจากรูปแบบความคิดเห็นไม่อนุญาตให้แสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมดังกล่าว กลุ่มที่เกี่ยวข้องคือกลุ่มออสซิลเลเตอร์และตัวแทน 3 มิติที่คุณพบนั้นเป็นกลุ่มที่ซื่อสัตย์ดังนั้นความสัมพันธ์ของกลุ่มใด ๆ ก็จะถือไว้สำหรับกลุ่มนามธรรมโดยทั่วไปดังนั้นการเป็นตัวแทนทั้งหมด ! ฉันจะเรียกองค์ประกอบกลางของคุณว่าCของคำตอบของคุณZและมันสามารถกรองนิพจน์ทั้งหมดออกจากการเดินทางกับทุกสิ่ง
คำสั่งทั่วไปได้รับการสนับสนุนโดยทฤษฎีบทโกหกคือว่าผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของกลุ่มทั้งหมดจะปิดไปยังชี้แจงของบางชุดเชิงเส้นของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดในพีชคณิตโกหกดังนั้นแล้ว$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$อย่างไรก็ตามเนื่องจากZ สื่อสารกับทุกสิ่งเราจึงสามารถเปลี่ยนปัจจัยแรกของ lhs ไปทางขวาและรวมเข้ากับพารามิเตอร์ใหม่ได้$\phi'-\theta=\phi$, ดังนั้น $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ โดยที่พารามิเตอร์ $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ รับประกันว่าเป็นฟังก์ชันของ $G,A,B$.
ตอนนี้โดยความเป็นศูนย์ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสามเครื่องแรกและในแนวทแยงมุมของเครื่องที่สี่เครื่องกำเนิดไฟฟ้าจะประเมินค่าเล็กน้อย $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ $e^{A/2}$.
สิ่งนี้จะต้องเท่ากัน $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ ดีเทอร์มิแนนต์คือ $e^{\alpha/2}$ ด้วยตัวตน $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.
ตอนนี้เป็นลำดับที่สองในพารามิเตอร์มันจะขยายเป็น $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
เมื่อเปรียบเทียบกับคำสั่งด้านบนข้างต้นเป็นลำดับที่สอง $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ แต่แล้วคุณก็รู้ว่ารายการบนขวาสุดไม่ตรงกันและต้องการการไม่หายไป $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$เพื่อรับความหย่อน ต้องไปที่ลำดับที่สองเพื่อดูสิ่งนี้เนื่องจากคุณต้องการการเปลี่ยนแปลงอย่างน้อยหนึ่งครั้ง$[a,a^\dagger]$ เพื่อผลิตองค์ประกอบกลาง
ดังนั้นแล้ว $\phi$มีความสำคัญอย่างยิ่งในการแสดงออกของคุณ (*): นี่ไม่ใช่ระดับของเสรีภาพที่สามารถละเว้นได้ ขออภัย (พร้อมภาษาปาสคาล) ที่ไม่มีเวลาทำให้ความคิดเห็นสั้นลง
ฉันคิดว่าฉันพบวิธีการโดยใช้คำตอบของสองคำถามนี้:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
การแยกตัวและการเรียงลำดับใหม่ของตัวดำเนินการเลขชี้กำลังทำงานอย่างไร
เราสามารถแมปเมทริกซ์ต่อไปนี้กับตัวดำเนินการขั้นบันได:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
เมทริกซ์ A, B, C, D ตอบสนองความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนของตัวดำเนินการขั้นบันได จากนั้นประเมินด้านซ้ายมือและด้านขวามือโดยใช้เมทริกซ์เหล่านี้และค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ ดูเหมือนจะได้ผล แต่ฉันต้องการคำยืนยันว่านี่เป็นแนวทางที่ถูกต้องเนื่องจากฉันไม่มีประสบการณ์กับอัลเกบราสโกหก