กฎลูกโซ่มีไว้สำหรับตราสารอนุพันธ์ทั่วไปหรือไม่?
สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ $\mathbb{R}^n$ เรามีอนุพันธ์บางส่วนซึ่งเป็นไปตามกฎลูกโซ่เช่น:
ปล่อย $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$ถือว่าเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับ $\mathbb{R}^n$ คือ $x^i$ และเกณฑ์มาตรฐานสำหรับ $\mathbb{R}^m$ คือ $y^j$ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบเรามี:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
ซึ่งเป็นกฎลูกโซ่มาตรฐาน
ตอนนี้พิจารณาอนุพันธ์กรณีทั่วไปเป็นแผนที่เชิงเส้นระหว่างพีชคณิต $v:A\to B$ ด้วย $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
ในกรณีนี้กฎลูกโซ่สำหรับองค์ประกอบ $v(f\circ g)$ยังค้าง? ดูเหมือนว่าไม่ใช่?
(เรารู้จักความแตกต่าง $dF_p:T_pM\to T_p N$ กฎลูกโซ่ยังคงมีอยู่)
คำตอบ
ในกรณีของท่อร่วมแบบเรียบสิ่งที่คุณเรียกว่ากฎลูกโซ่คือการรวมตัวกันของ functoriality ของ functor ที่นำท่อร่วมที่มีจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ $(M,p)$ ไปยังพื้นที่สัมผัสของมัน $T_pM$ และถ่ายแผนที่เรียบของวัตถุดังกล่าว $f:(M,p)\to (N,q)$ ไปยังส่วนต่างที่เกี่ยวข้อง $df_p:T_pM\to T_qN$. Functoriality กล่าวว่ามีองค์ประกอบ$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ มีความสัมพันธ์ $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. ในภาษาที่เป็นนามธรรมน้อยสิ่งนี้บอกว่าความแตกต่างขององค์ประกอบคือองค์ประกอบของดิฟเฟอเรนเชียล กำหนดให้เป็นรูปธรรม$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ ดังที่กล่าวมาข้างต้นเรารู้ว่าความแตกต่างเป็นไปตามลำดับ $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ และ $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ พิกัดของช่องว่างแรกอยู่ที่ไหน $x^1,\ldots, x^n$ และพิกัดของช่องว่างที่สองคือ $y^1,\ldots, y^m$ และเมทริกซ์แรกคือ $m\times n$และอย่างที่สองคือ $1\times m$. องค์ประกอบของส่วนต่างคือการคูณของเมทริกซ์เหล่านี้ซึ่งเป็นไปตามที่คุณเขียน$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ ที่นี่คือไฟล์ $1\times n$ เมทริกซ์
คำถามที่คุณถามนั้นแตกต่างกัน เอาเป็นว่า$A$ และ $B$ คือ $k-$algebras สำหรับบางฟิลด์ $k$. จากนั้นก็เป็น morphism$v:A\to B$ ซึ่งเป็น $k-$เชิงเส้นและไลบนิซ (เช่น $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) เป็นตัวดำเนินการที่แตกต่างประเภทหนึ่ง อย่างไรก็ตามตรงนี้ไม่ชัดเจนว่าคุณต้องการให้กฎลูกโซ่หมายถึงอะไร กฎลูกโซ่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราใช้ตัวดำเนินการที่แตกต่างกับองค์ประกอบของฟังก์ชันในการตั้งค่าท่อร่วมของเรา ในกรณีนี้,$f\circ g$ ไม่ได้ทำให้รู้สึกถึงความสำคัญ
ฉันจัดทำข้อเสนอต่อไปนี้: ระบุหมวดหมู่ของช่องว่างทางเรขาคณิต $\mathscr{C}$และ "ฟังก์ชัน" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$กำหนดให้แต่ละช่องว่าง $X$ โครงสร้างพีชคณิต $F(X)$เราพูดอย่างนั้น $F$ปฏิบัติตามกฎลูกโซ่ถ้า$F$ เป็น functorial ในความหมายของข้างต้น: ได้รับ $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ เรามี $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. นี่เป็นที่ยอมรับว่าคลุมเครือเล็กน้อย แต่ก็แสดงให้เห็นถึงสิ่งที่เรา "ใช้" เพื่อกำหนดกฎลูกโซ่