เมทริกซ์กึ่งแน่นอนเชิงบวกและเชิงบวก

Question

ปล่อย $H_n$ เป็น $(n+1)\times (n+1)$ เมทริกซ์สมมาตรจริงและปล่อยให้ $D_0,D_1,\dots, D_n$ เป็นผู้เยาว์ชั้นนำของ $H_n$.

สิ่งที่ฉันรู้คือ:

1. ถ้า $H_n$ เป็นบวกแน่นอน (resp. positive semi Definite) แล้ว $D_n> 0$ (การตอบสนอง. $D_n\geq 0$).
2. ถ้า $D_k>0$ เพื่อทุกสิ่ง $0\leq k\leq n$แล้ว $H_n$เป็นบวกแน่นอน (ตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ )

สิ่งที่ฉันอยากรู้คือสมมติว่า $H_n$ เป็นบวกกึ่งแน่นอน

$\quad$คำถามที่ 1 ถ้า$D_n>0$แล้ว $H_n$ เป็นบวกแน่นอน

$\quad$คำถามที่ 2 ถ้า$H_n$ ไม่เป็นบวกแน่นอนแล้ว $D_n=0$.

สำหรับ Q1: ฉันเชื่อว่าทำได้โดยการเหนี่ยวนำมากกว่า $n$. สำหรับ$n=0$: ถ้า $D_0>0$แล้ว $H_0$เป็นบวกแน่นอนโดยจุดที่สอง สำหรับ$n=1$: ถ้า $D_1>0$, คุณรู้ได้อย่างไร $D_0\neq 0$เพื่อให้เราสามารถใช้จุดที่สองได้อีกครั้ง?

สำหรับ Q2: เรารู้ดีว่า $H_n$ เป็นบวกกึ่งแน่นอนโดยการสันนิษฐานดังนั้น $D_n\geq 0$ตามจุดแรก แต่ตั้งแต่$H_n$ ไม่ใช่กึ่งแน่นอนเชิงบวกเราไม่สามารถมีได้ $D_n>0$ดังนั้น $D_n=0$. มันคืออะไร?

Answer 1

เมทริกซ์เซมิไฟแนนต์ที่เป็นบวกเป็นค่าบวกแน่นอนในกรณีที่กลับด้านได้เท่านั้น (มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์)

โดยปกติจะเกิดจากสิ่งต่อไปนี้: เมทริกซ์สมมาตรเป็นค่าบวกแน่นอนในกรณีที่ค่าลักษณะเฉพาะของมันเป็นค่ากึ่งจริงและเป็นบวกเฉพาะในกรณีที่ค่าลักษณะเฉพาะไม่เป็นลบ จากนั้นเราสังเกตว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะ

สำหรับการพิสูจน์ที่ตรงกว่านั้นก็พอที่จะสังเกตได้ว่าสำหรับเมทริกซ์กึ่งไม่มีที่สิ้นสุดเชิงบวก (สมมาตร) $H$, เรามี $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. ในโพสต์ของฉันที่นี่ฉันพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยวิธีต่างๆ จากนั้นโปรดทราบว่าเมทริกซ์มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ nullspace (เคอร์เนล AKA) ไม่สำคัญ