พิสูจน์ $\Bbb Z_n$เป็นกลุ่มที่อยู่ภายใต้การเพิ่มโมดูโล: ส่วนเชื่อมโยง [ซ้ำ]

Question

ทำไม $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ กลุ่มที่อยู่ภายใต้การเพิ่มโมดูโล?

จำเป็นต้องใช้เฉพาะส่วนที่เป็นส่วนประกอบเท่านั้น นั่นคือฉันติดอยู่กับการพิสูจน์ว่าสำหรับ$a,b,c \in \Bbb Z_n$, เรามี: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$

หรืออาจจะระบุไว้ชัดเจนกว่านี้ ด้วย$+_n$ แสดงถึง "$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$.

- ขอบคุณ

Answer 1

องค์ประกอบของ $\Bbb Z_n$เป็นคลาสความเท่ากันของจำนวนเต็มดังนี้:

$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$

ที่ไหน $a\in \Bbb Z.$

นอกจากนี้กำหนดไว้ดังนี้:

$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$

ตอนนี้การเชื่อมโยงที่คุณต้องการมีดังต่อไปนี้จากการเชื่อมโยงของการเพิ่ม: สำหรับใด ๆ $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$, เรามี

$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$