พิสูจน์ $\epsilon - \delta$ สไตล์ที่ $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ ผ่านความขัดแย้ง

Aug 19 2020

คำถาม:พิสูจน์$\epsilon - \delta$ สไตล์ที่ $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ ผ่านความขัดแย้ง

ดังนั้นแนวคิดเริ่มต้นของฉันคือสมมติ $\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^2 = 6$. แล้วสำหรับทุกคน$\epsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ ดังนั้น $|x^2-6| < \epsilon \rightarrow0 < |x-2| < \delta$

อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าจะแสดงความขัดแย้งโดยไม่ต้อง "เสียบปลั๊ก" ได้อย่างไร .... มีใครแสดงให้ฉันดูได้ไหม

คำตอบ

1 ZAF Aug 19 2020 at 07:57

ปล่อย $\varepsilon = 0.25 > 0 $

เรามีสิ่งนั้นสำหรับทุกคน $\delta > 0$ถ้าเราใช้ $\alpha = \text{min}\{0.1,\frac{\delta}{2} \}$แล้วเรามีสิ่งนั้น $2\alpha + \alpha^{2} \leq 0.2 + 0.01 = 0.21$

ถ้าเราใช้ $x = 2 + \alpha$เรามีสิ่งนั้น $|2+ \alpha - 2| = \alpha < \delta$แต่ $|(2+ \alpha)^{2} - 6| = 6 - 4 - 2\alpha - \alpha^{2} \geq 2 - 0.21 > 1 > \varepsilon$. จากนั้นเป็นความขัดแย้งของนิยามขีด จำกัด