พื้นผิวรูปไข่พาราโบลาและไฮเปอร์โบลิก Riemann: การจำแนกประเภท?
ในหนังสือของ Kra และ Farkas เกี่ยวกับ Riemann ได้ให้คำจำกัดความต่อไปนี้ (ผิดปกติเล็กน้อย):
นิยาม IV.3.2 ( มาตรา IV.3 ) ปล่อย$M$เป็นพื้นผิว Riemann เราจะโทร$M$ รูปไข่ถ้าและเฉพาะในกรณีที่$M$มีขนาดกะทัดรัด เราจะโทร$M$ พาราโบลาถ้าและเฉพาะในกรณีที่$M$ ไม่กะทัดรัดและ $M$ไม่มีฟังก์ชัน subharmonic ที่ไม่เป็นลบ เราจะโทร$M$ ไฮเพอร์โบลิกถ้าและเฉพาะในกรณีที่$M$ มีฟังก์ชัน subharmonic ที่ไม่ใช่ค่าคงที่ที่เป็นลบ
คำถาม. มีวิธีทางเรขาคณิตในการกำหนดลักษณะพื้นผิวพาราโบลาและไฮเพอร์โบลิกหรือไม่? ตัวอย่างเช่นสมมติว่า$M$ เป็นพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัดและ $x_1,\ldots, x_n$เป็นจุดที่มัน เป็นพื้นผิว$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$ พาราโบลา?
คำตอบ
นี่เป็นคำศัพท์ที่ค่อนข้างผิดปกติ แต่เป็นเรื่องธรรมดาในทฤษฎีการจำแนกประเภทของพื้นผิว Riemann แบบเปิด สัญกรณ์มาตรฐานมากขึ้น$P_G$ สำหรับ "พาราโบลา" และ $O_G$ สำหรับ "ไฮเพอร์โบลิก"
พื้นผิว $M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$ เป็นพาราโบลาในแง่นี้โดย "ทฤษฎีบทเอกฐานที่ถอดออกได้" (ฟังก์ชัน subharmonic ซึ่งล้อมรอบจากด้านบนในย่านที่มีการเจาะทะลุของจุดจะขยายไปยังฟังก์ชัน subharmonic ในย่านเต็ม)
มีเกณฑ์บางประการโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับพื้นผิวของแบบฟอร์ม $M\backslash E$, ที่ไหน $M$ มีขนาดกะทัดรัดและ $E$เป็นส่วนย่อยแบบปิด แต่เกณฑ์เหล่านี้ไม่ได้เป็นรูปทรงเรขาคณิตมากนัก: ใช้ความจุ ผลลัพธ์บางอย่างสามารถให้ได้ในรูปแบบของมาตรการ Hausdorff ของ$E$ แต่ไม่ "จำเป็นและเพียงพอ"
ผลการศึกษาคลาสสิกสามารถพบได้ในหนังสือ
M. Tsuji, ทฤษฎีศักยภาพในทฤษฎีฟังก์ชันสมัยใหม่, Maruzen, Tokyo, 1959 (มีการพิมพ์ซ้ำ AMS)
Ahlfors, Sario, Riemann surface, Princeton UP, 1960