แสดงว่า $7^{(2n^2 + 2n)}$ สอดคล้องกับ $1 \bmod 60$

Question

เพิ่งทำข้อสอบเสร็จ แต่ฉันแก้ปัญหาต่อไปนี้ไม่ได้:

แสดงว่าสิ่งต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกคน $n \in \mathbb{N}$:

$7^{2(n^2 +n)} \equiv 1 \mod 60$

ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังเป็นผลคูณของ $\varphi(60) = 16$ แล้วใช้ $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$แต่ฉันเดาว่าไม่ถูกต้องหรืออย่างน้อยมันก็ไม่ได้พาฉันไปไกลกว่านี้ ใครมีเคล็ดลับหรือเคล็ดลับในการแก้ปัญหานี้บ้าง?

Answer 1

ใช่, $n^2+n=n(n+1)$ ยังคงเป็นเช่นนั้นเสมอ $2n^2+2n$ หารด้วย $4$ดังนั้น $2n^2+2n=4k$ และ $7^{2n^2+2n}=(7^4)^k=2401^k \equiv 1 \mod 60$.

Answer 2

จริงๆแล้วคุณต้องแสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังเป็นผลคูณของลำดับการคูณของ$7$ โมดูโล $60$. เนื่องจากค่านี้ต้องหาร$\varphi(60) = 16$ก็ต้องเป็นปัจจัยของ $16$. ตามความคิดเห็นของคำถามของDoctor Whoคุณสามารถกำหนดและตรวจสอบคำสั่งคูณได้อย่างง่ายดาย$4$ ตั้งแต่ $7$ และ $7^2 = 49$ ไม่ทำงาน แต่ $7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{60}$ทำงาน จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องยืนยัน$n^2 + n = n(n + 1)$ เสมอกันซึ่งค่อนข้างง่ายที่จะทำเช่นกัน $n$ หรือ $n + 1$ แม้สำหรับทุกคน $n$.