แสดงว่า $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ $\mathbb{R}$
แสดงว่า $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ $\mathbb{R}$.
นี่เป็นการแยกปัญหาอย่างหนึ่งใน Berkeley Problems in Mathematics
วิธีแก้ปัญหาของฉัน (ความพยายาม) ค่อนข้างสั้นกว่าที่เสนอโดย authours (พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีโซลูชันที่ไม่ซ้ำกันอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของ $(0,54)$ โดยใช้ทฤษฎีบทของ Picard เวอร์ชันท้องถิ่นจากนั้นใช้ IFT เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนเกี่ยวกับพื้นที่ใกล้เคียงนี้และพิสูจน์ว่าโซลูชันนี้ใช้ได้กับ $\mathbb{R}$) เลยอยากตรวจสอบว่าไม่พลาดอะไร
นี่คือทางออกของฉัน:
ปล่อย $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. แก้ไข$h >0$. โดยคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันต่อเนื่อง$f$ เปิดต่อเนื่อง $[-h,h] \times \mathbb{R}$ และยิ่งไปกว่านั้น Lipschitz ใน $y$บนแถบนี้ ตามมาจาก
$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ และ MVT.
ใช้ทฤษฎีบทของ Picard และเราเห็นว่า IVP มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ $[-h,h]$.
แต่ $h$ เป็นไปตามอำเภอใจดังนั้น IVP จึงมีวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
ถูกต้องหรือไม่ โดยทั่วไปฉันไม่แน่ใจเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ / การมีอยู่ของโซลูชันระดับโลก ... ความต่อเนื่องของการวิเคราะห์หรือ Picard ระดับโลก?!
โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทของ Picard เวอร์ชันที่ฉันใช้คือ
IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ $\mathbb{R}$ ให้, $\forall h:$
$f$ เปิดต่อเนื่อง $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$
$f$ คือ Lipschitz ใน y บน $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.
คำตอบ
ความคิดของคุณถูกต้อง ด้วยเส้นตรงย่อยด้านขวาคุณจะได้รับโซลูชันระดับโลก มีการสำรวจแนวคิดการพิสูจน์เช่นใน
- การมีอยู่ของโซลูชันสำหรับ ODE ลำดับแรก มีอะไรให้พิสูจน์?
- ความไม่เท่าเทียมกันในการพิสูจน์วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ ODE
ปัญหาเกี่ยวกับแหล่งที่มาของคุณอาจเป็นเพราะพวกเขาไม่ได้ใช้ความพยายามในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเวอร์ชันสากลนี้หลังจากที่แปลเป็นมาตรฐานแล้ว ดังนั้นพวกเขาจึงต้องรวบรวมโซลูชันจากโซลูชันในท้องถิ่นจำนวนมาก
โปรดทราบว่าด้วยการกำหนดเงื่อนไขของคุณคุณจะได้รับวิธีแก้ปัญหาเท่านั้น $[a-h,a+h]$ซึ่งไม่น่าแปลกใจเพราะนี่คือโดเมนที่สำรวจของ ODE