ทำไมต้องมีการดำเนินการ $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ เป็นกลุ่ม?
การดำเนินการด้านบนเป็นกลุ่มสำหรับจำนวนจริงเนื่องจาก 0 เป็นองค์ประกอบของข้อมูลประจำตัวและค่าลบของจำนวนจริงใด ๆ เป็นค่าผกผันเนื่องจากสามารถสังเกตได้เล็กน้อย ความสัมพันธ์เป็นเรื่องเล็กน้อย แต่ก็ถือได้
ในความเป็นจริงถ้าเราแทนที่ 3 สำหรับจำนวนคี่ (5, 7 ... ) การดำเนินการจะเป็นไปตามคุณสมบัติของกลุ่ม อย่างไรก็ตามเลขคู่ใด ๆ ล้มเหลว
มีการตีความทางเรขาคณิต / การวิเคราะห์ / ... ทำไมการดำเนินการเช่น $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ มีความสัมพันธ์กันและเป็นผลให้โครงสร้างของกลุ่มเป็นจริงหรือไม่?
คำตอบ
ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มใดก็ได้ $X$ เป็นชุดใดก็ได้และ $f: X \rightarrow G$มีอคติใด ๆ จากนั้นเราสามารถถ่ายโอนโครงสร้างกลุ่มจาก$G$ ถึง $X$ โดยการตั้งค่า $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. นั่นคือเราใช้ bijection$f$ เพื่อระบุองค์ประกอบของ $G$ และองค์ประกอบของ $X$และวางโครงสร้างกลุ่ม $X$โดยใช้รหัสนี้ ฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดที่นี่เป็นการกำหนดโครงสร้างกลุ่ม$X$.
ตอนนี้ใช้เวลา $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ และ $f(x)=x^3$ เพื่อกู้คืนกรณีของคุณ
ถ้า $f$ คือ bijection แปลก ๆ ของ reals จากนั้นการดำเนินการ
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
ทำให้เรียลเป็นกลุ่มและ $f$isomorphism จากกลุ่มสารเติมแต่งของจริงไปยังกลุ่มนั้น ในกรณีของคุณ$f(x)=x^3$. Associativity ตามมาจากความจริงที่ว่า$f$ เป็น homomorphism $0$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางและ $-x$ เป็นค่าผกผันของ $x$. นี่คือความจริงที่ว่า$f$ ใช้เป็นเลขคี่
สำหรับการคาดคะเนโดยพลการ$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, การดำเนินการ $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ เป็นกฎหมายกลุ่มว่าด้วย $\mathbf R$. ทั้งหมดนี้กล่าวคือถ้าคุณเปลี่ยนชื่อแต่ละจำนวนจริง$x$ เช่น $f(x)$ จากนั้นคุณสามารถแปลงกฎหมายกลุ่มเดิมได้ $+$ เป็นกฎหมายกลุ่ม $*$ ดังนั้น $f$ คือ isomorphism จาก $(\mathbf R, *)$ ถึง $(\mathbf R,+)$. สัญชาตญาณเป็นพีชคณิตไม่ใช่เรขาคณิต ไม่มีอะไรวิเศษเกี่ยวกับ$n$รากสำหรับคี่ $n$ นอกเหนือจากการเป็นอคติ
ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์ $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ เป็น bijection ที่ช่วยให้คุณสามารถส่งข้อมูลเพิ่มเติมได้ $\mathbf R$ กฎหมายกลุ่มว่าด้วย $(-1,1)$ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (การเพิ่มความเร็วในการเคลื่อนที่หนึ่งมิติ) การผกผันของ bijection นี้ขึ้นอยู่กับปัจจัยการปรับขนาดเรียกว่า "ความรวดเร็ว" ในทางฟิสิกส์
คำตอบสั้น ๆ : เพราะ $\sqrt{x^2}\ne x$ สำหรับ $x<0$.
คำตอบแบบยาวซึ่งฉันชอบ $\cdot$ ถึง $\bullet$:
การดำเนินการที่น่าพอใจ $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ ปิดรีอัลเนื่องจากถ้า $n$ เป็นเรื่องแปลกที่เราสามารถใช้ไฟล์ $n$th root, & if $n$ แม้ว่าเราจะพยายามใช้ไฟล์ $n$รากของบางสิ่งบางอย่าง $\ge0$. และตั้งแต่นั้นมา$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$ผู้ร่วมปฏิบัติการ (ยกเลิกอำนาจของ$n$ เป็นเรื่องเล็กน้อยเนื่องจากแม้ว่า $n$ เป็นคู่ $\cdot$ ถูกกำหนดให้ใช้ค่าไม่เป็นลบเสมอ $n$ก็รูทอยู่ดี) อย่างน้อยที่สุดเราจึงสร้างเซมิกรุ๊ป
ตั้งแต่ $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$สำหรับคี่ $n$ เรายังมี $0$ เป็นตัวตน แต่สำหรับแม้ $n$ เราไม่เพราะ $x\cdot0=|x|$ดังนั้นมันไม่ได้แม้กระทั่งหนังสือให้อยู่คนเดียวกลุ่ม สัจพจน์ของกลุ่มสุดท้ายคือการผกผันซึ่งใช้ได้ผลกับคี่$n$ ตามที่คุณสังเกตเห็น แต่สำหรับคู่ $n$ เรามี $x\cdot y\ge|x|$ดังนั้นเราจึงไม่มีการผกผันเช่นกัน
คำแนะนำ :
Associativity เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าทั้งสองอย่าง $\;(x\bullet y)\bullet z$ และ $\;x\bullet( y \bullet z)$ มีค่าเท่ากับ $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$