วิธีรับวงเงินดังต่อไปนี้: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Question

วิธีรับวงเงินดังต่อไปนี้:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

ถ้าปล่อยให้ $x=r\cos \theta$ และ $y=r\sin \theta$ ที่ไหน $\theta\in (0, \pi/2)$แล้ว $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

ดูเหมือนว่าไม่มีขีด จำกัด

Answer 1

ในกรณีนี้กลยุทธ์ที่ดีคือการใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเพื่อให้เลขชี้กำลังเท่ากันที่ตัวส่วน $x^4=u$ และ $y=v$ แล้ว

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

และเราสามารถสรุปได้อย่างง่ายดายเช่นโดยพิกัดเชิงขั้วหรือสมมติว่าสองเส้นทางที่แตกต่างกันเป็น $u=\pm v$.

Answer 2

ตามแนวโค้ง $y=x^{4}$ ขีด จำกัด คือ $\frac 1 2 $ และพร้อม $y=0$ มันคือ $0$. ดังนั้นจึงไม่มีขีด จำกัด