องค์ประกอบของ $\text{End}(V)$ ร่องรอยตรงกับ?
พื้นหลัง:
ปล่อย $V$ เป็นช่องว่างเวกเตอร์เหนือเขตข้อมูล $k$. ให้ฉันอธิบายแผนที่บัญญัติที่แตกต่างกันซึ่งเราจะเขียนในคำถาม
- มีแผนที่ทวิภาคีที่เป็นที่ยอมรับ $V \times V^* \to \text{End}(V)$ การส่ง $v , \varphi \mapsto [w \mapsto \varphi(w) v]$ดังนั้นคุณสมบัติสากลของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์จึงให้แผนที่เชิงเส้น $\Phi: V \otimes V^* \to \text{End}(V)$. ถ้า$V$คือมิติ จำกัด (fd) นี่คือ isomorphism แผนที่คู่$\Phi^* : \text{End}(V)^* \to (V \otimes V^*)^*$ จากนั้นก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึม
- ถ้า $W$ เป็นอีกอย่าง $k$- พื้นที่เวกเตอร์และมีแผนที่ทวิภาคีที่เป็นที่ยอมรับ $V^* \times W^* \to (V \otimes W)^*$ การส่ง $\varphi , \psi \mapsto [v \otimes w \mapsto \varphi(v)\psi(w)]$. อีกครั้งถ้า$V$ และ $W$เป็น fd แผนที่เหนี่ยวนำยังเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ในกรณีพิเศษเมื่อ$W = V^*$ ($V$ fd) ขอตั้งชื่อไอโซมอร์ฟิซึม $\Psi: V^* \otimes V^{**} \to (V \otimes V^*)^*$.
- มีแผนที่บัญญัติ $V \to V^{**}$ การส่ง $v \mapsto \text{eval}_v$. อีกครั้งเมื่อ$V$ คือ fd แผนที่นี้เป็น isomorphism ดังนั้นเราจึงได้ isomorphism $\Theta: V^* \otimes V \to V^* \otimes V^{**}$.
- ในที่สุดเพื่อที่จะอวดรู้อย่างสมบูรณ์มี isomorphism ที่เป็นที่ยอมรับ $\Gamma: V \otimes V^* \to V^* \otimes V$ กำหนดโดยการสลับลำดับของเทนเซอร์อย่างง่าย
- การเขียนแผนที่ (กรณี fd) เรามีisomorphism ที่เป็นที่ยอมรับ$F : \text{End}(V) \to \text{End}(V)^*$:
$$ \text{End}(V) \overset{\Phi^{-1}}{\longrightarrow} V \otimes V^* \overset{\Gamma} {\longrightarrow} V^* \otimes V \overset{\Theta}{\longrightarrow} V^* \otimes V^{**} \overset{\Psi}{\longrightarrow} (V \otimes V^*)^* \overset{(\Phi^*)^{-1}}{\longrightarrow} \text{End}(V)^*$$
- ในกรณี fd มีองค์ประกอบพิเศษของ $\text{End}(V)^*$คือร่องรอย เป็นองค์ประกอบของ$(V \otimes V^*)^*$ มันได้รับจากการหดตัวของเทนเซอร์: $\Phi^*(\text{tr})(v \otimes \varphi) = \varphi(v)$.
คำถามจริง :
ดูเหมือนว่ามันควรจะชัดเจน แต่ฉันก็นิ่งงัน! องค์ประกอบห่าของอะไร$\text{End}(V)$ การติดตามสอดคล้องกับภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมหรือไม่ $F$เหรอ? คืออะไร$F^{-1}(\text{tr})$เหรอ? และที่จริงในขณะที่เรากำลังทำอยู่ (หรืออาจจะระหว่างทาง) อะไรคือ$\Psi^{-1}(\Phi^*(\text{tr}))$เหรอ? รู้สึกแปลกที่มีองค์ประกอบที่โดดเด่นของ$V^* \otimes V^{**}$. ฉันคิดว่าภาพของ$1_V \in \text{End}(V)$ มีความโดดเด่นเช่นกัน ... หืม.
คำตอบ
อย่างที่คุณพูดองค์ประกอบที่แตกต่างเพียงอย่างเดียวของ $\text{End}(V)$ คือ $\text{id}_V$และนั่นคือสิ่งที่คุณจะได้รับ ฉันไม่ได้ตรวจสอบ แต่คุณควรจะตรวจสอบได้โดยเขียนทุกอย่างเป็นเกณฑ์$e_i$ ของ $V$ และพื้นฐานคู่ที่สอดคล้องกัน $e_i^{\ast}$ ของ $V^{\ast}$. คุณได้รับ
$$\text{id}_V = \sum_{i=1}^n e_i \otimes e_i^{\ast}.$$