Einfacher Beweis

Eine gerade Zahl plus eine gerade Zahl ergibt eine gerade Zahl.

Eine ungerade Zahl plus eine ungerade Zahl ergibt eine ungerade Zahl.

Eine Ungerade plus eine Gerade ergibt eine Ungerade.

Wahrscheinlich wurde Ihnen diese einfache Regel in der Grundschule beigebracht. Ich war. Und es scheint wahr zu sein. Probieren Sie es ein paar Mal mit ein paar verschiedenen Nummern aus, und es funktioniert immer. (Wenn dies nicht der Fall ist, überprüfen Sie Ihre Arbeit. Wenn es immer noch nicht funktioniert, veröffentlichen Sie es.)

Aber funktioniert es für alle Zahlen? Egal wie groß?

Der Unterschied zwischen der Mathematik, die wir normalerweise in der Schule lernen, und der Mathematik, die Mathematiker machen, ist folgender:

1. In der Schule werden uns solche Regeln beigebracht, damit wir sie beim „Mathe machen“ anwenden können.
2. Mathematiker versuchen herauszufinden, was die Regeln sind, und finden möglichst prägnante und elegante Argumente, um zu zeigen, warum diese Regeln wahr (oder nicht) sind.

Wie Paul Lockhart in seinem Essay A Mathematician's Lament überzeugend (und humorvoll) beschreibt, ist die Kunst, die Wahrheit zu finden, sowohl wahre Mathematik als auch eine Menge Spaß. Und es müssen nicht die formalen, starren Beweise sein, die manchmal in der Schule gelehrt werden. Es geht nur darum, nach Mustern zu suchen und elegant zu argumentieren.

Anstatt jungen Lernenden Regeln über die Summe von ungeraden und geraden Zahlen zu sagen, was wäre, wenn wir sie zuerst bitten würden, herauszufinden, was die Regeln sein könnten, und sie dann bitten würden, eine Erklärung dafür zu finden, warum es eine Regel ist?

Hier ist ein Beispiel für die Denkweise, die in einen „Beweis“ einfließen könnte, was nur eine von vielen möglichen Lösungen ist:

Rechnen wir zunächst nicht mit abstrakten Ziffern, sondern mit greifbaren Objekten, in diesem Fall Quadraten. Hier sind fünf Quadrate:

[Bild mehrerer willkürlich platzierter Quadrate]

Da eine gerade Zahl bedeutet, dass sie durch zwei teilbar ist, wissen wir, dass wir eine gerade Anzahl von Quadraten in zwei Reihen gleicher Länge anordnen können und die Enden „quadratisch“ sind:

Eine ungerade Zahl hingegen hat immer ein „ausgefranstes“ Ende, an dem die Reihen nicht aneinandergereiht sind:

Wenn wir diese Bilder neu anordnen, können wir jetzt sehen, dass unsere Regeln wahr zu sein scheinen. Zwei gerade Zahlen, aneinandergelegt, haben gerade Enden.

Indem Sie eine ungerade Zahl umdrehen und die beiden ausgefransten Enden zusammenkleben, haben zwei ungerade Zahlen auch gerade Enden.

Aber eins ungerade und eins gerade, egal wie wir drehen und drehen, gibt uns niemals gerade Enden.

Dies gilt unabhängig davon, wie lang unsere Zahlen sind, denn alles, was zählt, ist, ob die Enden ausgefranst oder quadratisch sind. (Diese Blitz-Dinge sollen eine willkürliche Entfernung suggerieren … stellen Sie sich vor, da wären Tausende von Quadraten drin.)

QED

Ist das ein gültiger mathematischer Beweis? Spielt es eine Rolle? Ein Kind oder eine Gruppe von Kindern, die sich die Zeit genommen haben, sich diese Art von „Beweisen“ auszudenken, wird ein Verständnis für und vielleicht eine Begeisterung für Mathematik entwickeln, die ihnen keine Menge Routineübungen vermitteln wird. Noch wichtiger ist, dass sie beginnen zu lernen, „was zu tun ist, wenn man nicht weiß, was man tun soll“. Das heißt, das Selbstvertrauen, Probleme zu lösen, die Sie noch nie zuvor gesehen haben, anstatt nur den Schritten der Probleme zu folgen, die Sie haben.