MIT Calculus Advanced Placement Test

Wie groß ist die Fläche unter dem Graphen der obigen Funktion, über der x-Achse und links von der vertikalen Linie x = 2?

Ein guter Ansatz wäre, mit einer Skizze der Funktion zu beginnen. Wir können Desmos verwenden, um das Verhalten der gegebenen Funktion besser zu verstehen.

Die Frage betrifft den winzig kleinen Bereich links von x = 2, der auch von der x-Achse begrenzt wird. Erinnern Sie sich aus unserem Studium der High-School-Algebra, dass der Schnittpunkt zwischen einer Kurve und der x-Achse durch Einsetzen von y = 0 gefunden werden kann.

Dies passt auch zu dem mit Desmos gezeichneten Diagramm. Mit dem Toolkit aus der Integralrechnung können wir unser Integral so einrichten, dass es die Fläche findet.

Ich denke, eine weitere Herausforderung bei dieser Frage ist unsere Beherrschung elementarer Integrationstechniken. Beachten Sie, dass der Integrand als Produkt von ln³(x) und 1/x geschrieben werden kann. Die Rechenexperten unter uns sollten in der Lage sein, die Verbindung zwischen den beiden zu erkennen. Insbesondere wollen wir die folgende u-Substitution anwenden.

Wenn wir die Integrationsgrenzen berücksichtigen und das Obige auf unser ursprüngliches Integral anwenden, bleibt uns ein einfacher aussehendes Integral.

Wir können die Rückleistungsregel anwenden und kommen als Fläche zu folgendem Ergebnis.

Vielen Dank fürs Lesen. Vergessen Sie nicht, den Artikel zu klatschen, wenn Sie ihn aufschlussreich finden.