Comment évaluer la double intégrale sur une surface non fermée?

Question

Laisser $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ et laissez $S$ être la surface $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Si$\hat{n}$ est une unité normale à $S$ et $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ ensuite $\alpha=?$

On ne peut pas appliquer ici le théorème de divergence de Gauss puisque la surface S n'est pas fermée. Comment procéder dans cette question alors? Veuillez aider.

Answer 1

Notez que la limite de la surface est la courbe $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$D'après le théorème de Stokes, si deux surfaces partagent la même frontière, l'intégrale de la boucle sur les deux surfaces sera identique. C'est à dire

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

avec les deux orientés vers le haut ou vers le bas.

Pourquoi cela facilite-t-il la vie? Pour commencer, le Jacobien entre le$z=0$ avion et l'habituel $xy$ les coordonnées sont $1$ (le Jacobien de quoi que ce soit de lui-même à soi $1$) et le vecteur normal ne pointe que dans le $z$ direction, ce qui signifie que nous n'avons même pas à calculer la boucle entière, seulement le $z$ composant, qui est

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Cela nous donne l'égalité suivante

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ est une fonction étrange, donc son intégrale disparaîtra sur le disque en $x$symétrie. La seule intégrale à gauche est une constante, qui nous donne juste l'aire de la surface multipliée par cette constante:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

Donc $\alpha =2$