Comment $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ découlent du théorème de convergence monotone?

Question

Dans l'analyse réelle et complexe de Rudin, il dit que l'égalité

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

pour $a_{i,j} \ge 0$ découle de ce corollaire du théorème de convergence monotone (via mesure de comptage sur un ensemble dénombrable):

Si $f_n: X \to [0, \infty]$ est mesurable et $f = \sum f_n$, puis

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

Cependant, j'ai du mal à voir cela. Je suppose que vous utilisez des fonctions d'indicateur pour chaque point de l'ensemble dénombrable, mais je ne vois aucune manipulation évidente pour que cela soit vrai. Toute aide serait appréciée.

Answer 1

Laisser $X=\mathbb N$ et $S$ être l'ensemble puissant de $X$. Laisser$\mu$ être la mesure de comptage sur $X$. [$\mu(E)$ est le nombre de points de $E$ qui est considéré comme $+\infty$ si $E$ est un ensemble infini].

Pour toute fonction $g: X \to [0,\infty)$ nous avons $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.

Maintenant prends $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. ensuite$f_n$ augmente la fonction $f$ Défini par $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. Par conséquent$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. Cela donne$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.